Question

3．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上（相距最近），如图所示．该行星与地球的公转半径之比为a，公转周期之比为b，则（　　）

• A． a=$\frac{N+1}{N}$
• B． $b=\frac{N}{N-1}$
• C． $b={（\frac{N+1}{N}）}^{\frac{2}{3}}$
• D． $a={（\frac{N}{N-1}）}^{\frac{2}{3}}$

Answer 1

分析 由图可知行星的轨道半径大，那么由开普勒第三定律知其周期长，其绕太阳转的慢．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，说明N年地球比行星多转1圈，即行星转了N-1圈，从而再次在日地连线的延长线上，那么，可以求出行星的周期是$\frac{N}{N-1}$年，接着再由开普勒第三定律求解该行星与地球的公转半径比．

解答 解：地球公转周期为${T}_{地}^{\;}=1年$，每过N年行星会运行到日地连线的延长线上，即地球比行星多运动1圈，有
$\frac{N}{{T}_{地}^{\;}}-\frac{N}{{T}_{行}^{\;}}=1$，得${T}_{行}^{\;}=\frac{N}{N-1}$
由题意$\frac{{T}_{行}^{\;}}{{T}_{地}^{\;}}=\frac{N}{N-1}=b$，故B正确，A错误
根据开普勒第三定律$\frac{{r}_{行}^{3}}{{r}_{地}^{3}}=\frac{{T}_{行}^{2}}{{T}_{地}^{2}}$，即${a}_{\;}^{3}=（\frac{N}{N-1}）_{\;}^{2}$
化简得$a=（\frac{N}{N-1}）_{\;}^{\frac{2}{3}}$，故D正确，C错误．
故选：BD

点评 解答此题的关键由题意分析得出每过N年地球比行星多围绕太阳转一圈，由此求出行星的周期，再由开普勒第三定律求解即可．