Question

5．古希腊哲学家芝诺提出了一个著名的运动佯谬，认为飞毛腿阿基里斯永远追不上乌龟．设阿基里斯和乌龟的速度分别是v₁和v₂（v₁＞v₂）．开始时，阿基里斯在O点，乌龟在A点，O，A相距为L．当阿基里斯第一次跑到乌龟最初的位置A时，乌龟到了第二个位置B；当阿基里斯第二次跑到乌龟曾在的位置B时，乌龟到了第三个位置C．如此等等，没有经过无穷多次，阿基里斯是无法追上乌龟的．
（1）阿基里斯第n次跑到乌龟曾在的位置N时，总共用了多少时间．
（2）证明经过无穷多次这样的追赶，阿基里斯可以追上乌龟，并求追上用了多少时间．
（3）可是，人们还是可以替芝诺辩护的，认为他用了一种奇特的时标，即把阿基里斯每次追到上次乌龟所到的位置作为一个时间单位．现称用这种时标所计的时间叫做“芝诺时”（符号τ，单位：芝诺）．即阿基里斯这样追赶了乌龟n次的时候，芝诺时τ=n芝诺．试推导普通时与芝诺时的换算关系，即τ=f（t）的函数关系．

Answer 1

分析 由运动学公式分步确定各段时间，进行求和，由多项式求和公式确定时间的表达式．确定达到∞时对就的时间值．

解答 解：（1）当阿基里斯第一次跑到乌龟的最初位置A时，用时${t}_{1}=\frac{L}{{v}_{1}}$，
乌龟已到了第二个位置B，$\overline{AB}={v}_{2}{t}_{1}=\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}L$，
当阿基里斯第二次跑到乌龟的曾在位置B时，用时${t}_{2}=\frac{\overline{AB}}{{v}_{1}}=\frac{{v}_{2}L}{{{v}_{1}}^{2}}$，
乌龟已到了第三个位置C，$\overline{BC}={v}_{2}{t}_{2}=（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{2}L$，
如此等等，阿基里斯第n次跑到乌龟曾在的位置N时，用时${t}_{n}=\frac{{{v}_{2}}^{n-1}}{{{v}_{1}}^{n}}L$，
所以t_N=t₁+t₂+…+t_n=$\frac{L}{{v}_{1}}[1+\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}+（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{2}+…+（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n-1}]$=$\frac{L}{{v}_{1}}•\frac{1-（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}}{1-\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$．
（2）当n→∞时，$（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}$→0，所以t=$\frac{L}{{v}_{1}-{v}_{2}}$，所以阿基里斯可以追上乌龟，所用时间t=$\frac{L}{{v}_{1}-{v}_{2}}$．
（3）由t=$\frac{L}{{v}_{1}}•\frac{1-（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}}{1-\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$得，可以解出τ=n=$\frac{ln（1-\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{L}t）}{ln\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$．
答：（1）阿基里斯第n次跑到乌龟曾在的位置N时，总共用了$\frac{L}{{v}_{1}}•\frac{1-（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}}{1-\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$．
（2）追上用了$\frac{L}{{v}_{1}-{v}_{2}}$时间．
（3）τ=f（t）的函数关系为τ=n=$\frac{ln（1-\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{L}t）}{ln\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$．

点评 本题考查物理学与数学知识的结合能力，对于多项式的求和是解题的关键，对数学能力的要求较高，需要多练习．