Question

20．如图在圆柱形房屋的天花板的中心O点，悬挂一根长为L的细绳，绳子的下端挂一个质量为m的小球，已知重力加速度为g，绳能承受的最大拉力为2mg，小球在水平面内作图示的圆周运动，速度逐渐增大，绳子断裂，小球最后恰好以速度v₂=$\sqrt{7gL}$落到墙角边，下落过程小球与周围墙壁没有接触．求：
（1）绳断裂的瞬间小球的运动速度v₁的大小
（2）圆柱形房屋的高度H
（3））圆柱形房屋底面的半径R．

Answer 1

分析 （1）小球在水平面仙做圆周运动时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解速度v₁；
（2）（3）小球在绳子断开后做平抛运动，根据动能定理求得小球下落的高度h，H=h+Lcosθ．由平抛运动的规律求解半径．

解答 解：（1）分析小球的受力情况，有：
Tcosθ=mg
Tsinθ=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{Lsinθ}$
解得：θ=60°，v₁=$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$
（2）由动能定理有：
mgh=$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
解得：h=$\frac{11}{4}L$
所以有：H=h+Lcosθ=$\frac{13}{4}$L
由平抛运动的规律，有：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由几何知识得：R=$\sqrt{（Lsinθ）^{2}+（{v}_{1}t）^{2}}$=3L
答：（1）绳断裂瞬间小球的速度v₁为$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$．
（2）圆柱形房屋的高度H为$\frac{13}{4}$L
（3）圆柱形房屋底面的半径R3L．

点评 本题主要考查了平抛运动的基本公式及向心力公式的应用，要求同学们能画出小球运动的轨迹，能结合几何关系解题，难度适中．