Question

12．据国外媒体报道，近日．科学家宣布：在太阳系外发现一颗名叫赛德纳（SEDNA）的行星，该星球拥有和地球差不多的体积和质量，天文学家认为赛德纳有可能拥有外星生命，就好像是地球的姊妹一样，让地球在宇宙中不再孤独，假如科学家们在赛德纳（SEDNA）行昆表面上以速度v₀水平抛出一小球，测得小球抛出点离地面高度为h，小球落地点距抛出点 水平距离为x，已知赛德纳（SEDNA）行星的半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）赛德纳（SEDNA）行星的质量M；
（2）人们要想在赛德纳（SEDNA）行星上发射一颗卫星，需要的最小发射速度为多大？

Answer 1

分析 （1）运用平抛运动规律求出星球表面重力加速度．忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式求解行星的质量M．
（2）最小发射速度即为该行星的第一宇宙速度，由重力等于向心力求解．

解答 解：（1）小球做平抛运动，
在水平方向有：x=v₀t，
在竖直方向有：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得该星球表面的重力加速度为：g=$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{x}^{2}}$ 
设在该星球地面上的物体质量为m，
由万有引力等于物体的重力得：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
所以该星球的质量为：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{{Gx}^{2}}$．
（2）设有一颗质量为m的近地卫星绕星球作匀速圆周运动，速率为v，
由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得该星球的第一宇宙速度为：v=$\sqrt{gR}$=$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2hR}$
即要想在赛德纳（SEDNA）行星上发射一颗卫星，需要的最小发射速度为$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2hR}$．
答：
（1）赛德纳（SEDNA）行星的质量M为$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{{Gx}^{2}}$；
（2）要想在赛德纳（SEDNA）行星上发射一颗卫星，需要的最小发射速度为$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2hR}$．

点评 重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量，要知道忽略星球自转时重力等于万有引力．