Question

15．图示左侧球碰撞的实验装置中，n个完全弹性小球都用长为L=10m的细线悬挂在同一高度的一条直线上，相邻两球的间隙很小．这些小球中只有球n带有-q电荷，其质量为m．小球1到小球n间的质量关系为m₁：m₂：m₃：…：m_n=1：（$\frac{1}{3}$）：（$\frac{1}{3}$）²：…：（$\frac{1}{3}$）^n-1．碰撞装置右侧倾角θ=37⁰的绝缘粗糙斜面上有平行且相距D=3m的NQ与MP区间，其间有平行斜面向上、场强E=$\frac{8mg}{5q}$的匀强电场．一长为S=2m的绝缘轻杆连接两个完全相同、质量均为m=0.5kg的小球A和B，A球不带电，B球带电量+q．开始时轻杆的中垂线与垂直线MP重合且AB球静止在斜面上恰好不往上滑．设A、B球与斜面间的动摩擦因数均为μ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．
（1）求小球与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）拉起1球至某高度后放手，让其与2球碰撞，直到n球被碰（n-1球与n球碰撞时无电荷转移）弹起并偏转θ角后绳子被钉子J拦住而恰好绳断，接着n球立即与A球正碰并粘合在一起，整体沿斜面向上运动至B球能够到达虚线NQ的位置．若OJ距离为9m，求球n与球A碰前瞬间速度v的最小值及绳子的最大拉力Tm
（3）若球1被拉起时与竖直方向的夹角也为θ，则要达到（2）中所述的要求，n的最小值为多少？

Answer 1

分析 （1）对AB系统，由平衡条件可以求出动摩擦因数；
（2）应用动量守恒定律、动能定理与牛顿第二定律可以求出速度与拉力；
（3）小球n可在竖直面内做圆周运动并能通过其正上方的最高点，根据牛顿第二定律得到最高点的最小速度；然后根据1、2两球的碰撞过程得到第n个球的速度的通项，再对第n球在碰后至最高点的过程运用机械能守恒定律列式，最后联立求解即可．

解答 解：（1）由AB受力平衡，由平衡条件得：
2mgsinθ+2μmgcosθ=qE，
代入数据解得：μ=0.25；
（2）据牛顿定律知绳断的条件为：${T_m}-mgcosθ=m\frac{v^2}{L-OJ}$…①
设n球与A球碰后速度大小为v₁，碰撞过程系统动量守恒，以向上为正方向，由动量守恒定律得：mv=3mv₁…②
碰后至B到达虚线NQ，据动能定理有：
$0-\frac{3}{2}mv_1^2=（{qE-3mgsinθ-3μmgcosθ}）（{D-\frac{S}{2}}）-qE\frac{S}{2}$…③
联立②③并代入数据再代入①，可解得：v=8$\sqrt{3}$m/s，T_m=100N；
（3）球1摆动过程、球n碰后至与球A碰前均有机械能守恒：
$\frac{1}{2}{3^{n-1}}mv_1^2={3^{n-1}}mgL（{1-cosθ}）$，
解得：${v_1}=2\sqrt{10}$m/s，
$\frac{1}{2}mv_n^2=\frac{1}{2}mv_{\;}^2+mgL（{1-cosθ}）$，
解得：${v_n}=\sqrt{{v^2}+2gL（1-cosθ）}≥2\sqrt{58}$，
球i跟球i+1的碰撞满足机械能守恒跟动量守恒：m_iv_i=m_iv_i1+m_i+1v_i+1
$\frac{1}{2}{m_i}v_i^2=\frac{1}{2}{m_i}v_{i1}^2+\frac{1}{2}{m_{i+1}}v_{i+1}^2$
可得：${v_{i+1}}=\frac{3}{2}{v_i}$，
即有：${v_n}={（{\frac{3}{2}}）^{n-1}}{v_1}$…④
代入数据可知n的最小值为：4；
答：（1）小球与斜面间的动摩擦因数μ为0.25；
（2）球n与球A碰前瞬间速度v的最小值为8$\sqrt{3}$m/s，绳子的最大拉力Tm为100N；
（3）若球1被拉起时与竖直方向的夹角也为θ，则要达到（2）中所述的要求，n的最小值为4．

点评 本题关键是明确各个球的运动规律，明确弹性碰撞遵循动量守恒定律和机械能守恒定律，得到第n个球的速度的通项是难点．