Question

7．如图所示，间距为L的两足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面夹角为30°，上端N、Q间连接一阻值为R的电阻，金属棒ab与导轨始终接触良好且垂直导轨放置，金属棒长度为L、电阻为r，ab、cd间的距离为L，cd以下存在磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直向下的匀强磁场．现对棒施加一个平行导轨向下的恒力F，F的大小是棒ab重力的$\frac{1}{2}$，当棒ab刚通过cd时恰好匀速运动，此时突然只将力F反向，经过一段时间后金属棒静止，已知重力加速度为g求：
（1）金属棒的质量
（2）整个过程中电阻R上产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）由动能定理和力的平衡条件结合闭合电路欧姆电路联立可求质量；
（2）由能量关系可求整个过程中电阻R上产生的焦耳热．

解答 解：（1）设ab杆运动到cd时速度为v，由动能定理得：$\frac{1}{2}$mgL+mgLsinθ=$\frac{1}{2}$mv²  ①
通过cd时恰好匀速运动，所以有：mgsinθ+F=BIL    ②
由闭合电路欧姆电路得：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BIL}{R+r}$ ③
由①②③联立解得：m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}\sqrt{\frac{2L}{g}}$     ④
（2）设金属杆通过cd后向下运动的最大距离为L_m，此后因下滑力与F平衡，初动能全部用来克服摩擦力做功，
即全过程产生的焦耳热为：Q=$\frac{1}{2}$mv²     ⑤
由P=I²R知，全过程中电阻R产生的焦耳热为：Q′=$\frac{R}{R+r}$Q      ⑥
联立④⑤⑥解得：Q=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}R}{（R+r）^{2}}\sqrt{2gL}$     ⑦
答：（1）金属棒的质量为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}\sqrt{\frac{2L}{g}}$；
（2）整个过程中电阻R上产生的焦耳热为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}R}{（R+r）^{2}}\sqrt{2gL}$．

点评 本题对综合应用电路知识、电磁感应知识和数学知识的能力要求较高，有一定难度．解答此题关键是电磁感应与力学知识的综合，其桥梁是安培力，理清棒的运动情况，根据力的平衡条件和能量守恒处理这类问题．