Question

16．一质量为m、边长为L的正方形单匝线框沿光滑水平面运动，以速度v₁开始进入一有界匀强磁场区域，最终以速度v₂滑出磁场．设线框在运动过程中速度方向始终与磁场边界垂直，磁场的宽度大于L（如图所示）．刚进入磁场瞬时，线框中的感应电流为I₁．求：
（1）线框刚离开磁场瞬间，线框中的感应电流I₂．
（2）线框穿过磁场过程中产生的焦耳热Q以及进入磁场过程中通过线框的电荷量q．
（3）线框完全在磁场中时的运动速度v．

Answer 1

分析 （1）根据切割感应电动势，E=BLv，即可求出线框刚离开磁场时感应电动势，再依据闭合电路欧姆定律，从而求得感应电流，
（2）分析线框向右穿过磁场的过程能量转化：减少的动能转化为线框中焦耳热Q，据能量守恒定律求解焦耳热Q，根据感应电量q=$\frac{△∅}{R}$即可求得向右完全进入磁场过程中所通过横截面的电荷量．
（3）依据冲量表达式，结合动量定理，即可求解．

解答 解：（1）根据闭合电路欧姆定律得：${I_1}=\frac{{BL{v_1}}}{R}$
同理，${I_2}=\frac{{BL{v_2}}}{R}$
解得：${I_2}=\frac{v_2}{v_1}{I_1}$
（2）根据能量守恒定律得：在穿过磁场的过程线框中产生的焦耳热为：$Q=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_2^2$
在进入磁场的过程中通过线框的电荷量为：${q_1}=\overline{I_1}t=\frac{{\overline{E_1}}}{R}t=\frac{△ϕ}{R}=\frac{{B{L^2}}}{R}$
解得：${q_1}=\frac{{L{I_1}}}{v_1}$
（3）线框在进入磁场的过程中，所受安培力的冲量大小为：${I_冲}_1=B\overline IL△t=BL{q_1}=\frac{{B{L^2}{I_1}}}{v_1}$
同理，线框在离开磁场的过程中，所受安培力的冲量大小为：${I_冲}_2=\frac{{B{L^2}{I_2}}}{v_2}=\frac{{B{L^2}{I_1}}}{v_1}$
由此可知，线框在进入或穿出磁场的过程中，所受安培力的冲量都相同
则由动量定理得：I_冲=m（v₁-v）=m（v-v₂） 
解得：$v=\frac{1}{2}（{v_1}+{v_2}）$
答：（1）线框刚离开磁场瞬间，线框中的感应电流$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}{I}_{1}$．
（2）线框穿过磁场过程中产生的焦耳热，以及进入磁场过程中通过线框的电荷量$\frac{L{I}_{1}}{{v}_{1}}$．
（3）线框完全在磁场中时的运动速度$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$．

点评 本题关键是明确所研究物体运动各个阶段的受力情况，做功情况及能量转化情况，选择利用闭合电路欧姆定律、动量定理，及能的转化与守恒定律解决针对性的问题，由于过程分析不明而易出现错误，所以，本类问题属于难题中的易错题．