Question

5．为了方便研究物体与地球间的万有引力问题，通常将地球视为质量分布均匀的球体．已知地球的质量为M，半径为R，引力常量为G，不考虑空气阻力的影响．
（1）求北极点的重力加速度的大小；
（2）若“天宫二号”绕地球运动的轨道可视为圆周，其轨道距地面的高度为h，求“天宫二号”绕地球运行的周期和速率；
（3）若已知地球质量M=6.0×10²⁴kg，地球半径R=6400km，其自转周期T=24h，引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²．在赤道处地面有一质量为m的物体A，用W₀表示物体A在赤道处地面上所受的重力，F₀表示其在赤道处地面上所受的万有引力．请求出$\frac{{{F}_{0}-W}_{0}}{{F}_{0}}$的值（结果保留1位有效数字），并以此为依据说明在处理万有引力和重力的关系时，为什么经常可以忽略地球自转的影响．

Answer 1

分析 （1）物体静止在北极点时所受地面的支持力等于万有引力，由此列式求得北极点的重力加速度的大小．
（2）“天宫二号”绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列式求得“天宫二号”绕地球运行的周期和速率．
（3）根据万有引力定律和牛顿第二定律研究物体在赤道上随地球运动的情况，即可求解．

解答 解：（1）设质量为m₀的物体静止在北极点时所受地面的支持力为N₀，根据万有引力定律和共点力平衡条件则有：
G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$=N₀
即质量为m₀的物体在北极点时所受的重力为：F=N₀=G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$
设北极点的重力加速度为g₀，则有：m₀g₀=G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$
解得：g₀=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
（2）设“天宫二号”的质量为m₁，其绕地球做匀速圆周运动的周期为T₁，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
G$\frac{M{m}_{1}}{（R+h）^{2}}$=m₁$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$（R+h）
解得：T₁=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$
运行速率为：v=$\frac{2π（R+h）}{{T}_{1}}$=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
（3）物体A在赤道处地面上所受的万有引力 F₀=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
对于物体A在赤道处地面上随地球运动的过程，设其所受地面的支持力为N，根据牛顿第二定律有：F₀-N=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
物体A此时所受重力的大小为：W₀=N=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
所以$\frac{{{F}_{0}-W}_{0}}{{F}_{0}}$=$\frac{m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R}{G\frac{Mm}{{R}^{2}}}$
代入数据解得：$\frac{{{F}_{0}-W}_{0}}{{F}_{0}}$=3×10^-3．
这一计算结果说明，由于地球自转对地球表赤道面上静止的物体所受重力与所受地球引力大小差别的影响很小，所以通常情况下可以忽略地球自转造成的地球引力与重力大小的区别．
答：（1）北极点的重力加速度的大小是$\frac{GM}{{R}^{2}}$；
（2）“天宫二号”绕地球运行的周期是2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$．速率是$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$；
（3）$\frac{{{F}_{0}-W}_{0}}{{F}_{0}}$的值是3×10^-3．地球自转对地球表赤道面上静止的物体所受重力与所受地球引力大小差别的影响很小，所以通常情况下可以忽略地球自转造成的地球引力与重力大小的区别．

点评 解决本题的关键是要知道在地球的两极：万有引力等于重力，在赤道：万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力．