Question

5．甲乙两车同时由A向B运动，甲以3m/s速度匀速运动，乙做初速度为0，加速度为3m/s²的匀加变速运动，当速度达到某一值后又做加速度为-2m/s²的匀减速运动，当乙速度减到0时，两车恰好同时到达B，求：
①在运动过程（不包括AB两点）中，两车何时相距最近？
②何时相距最远，最远距离多少？

Answer 1

分析 （1）由于甲乙同时到达B点，设乙的最大速度为v_m，根据位移关系求得乙的最大速度，根据加速和减速的速度时间公式求得时间，利用位移时间公式求得何时相距最近
（2）速度相等时，两者相距最近，速度相等时刻有两个，分别计算出速度相等的时刻，利用位移时间公式判断出何时相距最远

解答 解：（1）设乙车加速到达的最大速度为v_m
乙车先做加速后做减速，通过的位移为${x}_{乙}=\frac{{v}_{m}}{2}t$
甲车通过的位移为x_甲=v_甲t
由于x_乙=x_甲
联立解得v_m=6m
乙加速的时间${t}_{1}=\frac{{v}_{m}}{{a}_{1}}=\frac{6}{3}s=2s$
减速的时间${t}_{2}=\frac{{v}_{m}}{{a}_{2}}=\frac{6}{2}s=3s$
当两车相遇时，相距最近，设在乙车加速阶段故${v}_{甲}t′=\frac{1}{2}{a}_{1}t{′}^{2}$
解得t′=2s
（2）当两者速度相等时，两者相距最远，在乙加速阶段故v_甲=a₁t′，解得t′=1s，在1s内甲前进为位移为x_甲=v_甲t′=3m
乙前进的位移为$x{′}_{乙}=\frac{1}{2}{a}_{1}t{′}^{2}=1.5m$
此时相距△x=x_甲-x_乙=1.5m
在乙减速阶段速度相等所需时间为t″，则v_甲=v_m-a₂（t″-t₁），解得t″=3.5s
在3.5s内甲前进的位移为x″_甲=v_甲t″=10.5s
乙前进的位移为$x{″}_{乙}=\frac{1}{2}{{a}_{1}t}_{1}^{2}+{v}_{m}（t″-{t}_{1}）-\frac{1}{2}{a}_{2}（t″-{t}_{1}）^{2}$=12.75m
故此时相距最大距离为△x′=x″_乙-x″_甲=12.75-10.5m=2.25m
答：①在运动过程（不包括AB两点）中，两车在2s时相距最近
②3.5s时相距最远，最远距离为2.25m

点评 本题主要考查了追击相遇问题，明确速度相等时，相距最远，但需要明确速度相等的时间点有两个，即可逐个判断