Question

7．如图所示，在xOy坐标平面内x轴上、下方分布有磁感应强度不同的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向里．一质量为m、电量为q的带正电粒子从y轴上的P点以一定的初速度沿y轴正方向射出，粒子经过时间t第一次从x轴上的Q点进入下方磁场，速度方向与x轴正向成45°角，当粒子再次回到x轴时恰好经过坐标原点O．已知OP=L，不计粒子重力．求：
（1）带电粒子的初速度大小v₀；
（2）x轴上、下方磁场的磁感应强度之比$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，求出粒子做圆周运动转过的圆心角，然后根据粒子的运动时间求出粒子初速度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出磁感应强度之比．

解答 解：（1）粒子运动轨迹如图所示：

由几何知识可得：r₁=$\sqrt{2}$L，
粒子在x轴上方转过的圆心角：θ=$\frac{5π}{4}$=225°，
粒子的运动时间：t=$\frac{θ}{{v}_{0}}$r，
解得：v₀=$\frac{5\sqrt{2}πL}{4t}$；
（2）由几何知识得：OQ=r₁+r₁cos45°，
粒子在x轴下方运动的轨道半径：r₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OQ，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$；
答：（1）带电粒子的初速度大小v₀为$\frac{5\sqrt{2}πL}{4t}$；
（2）x轴上、下方磁场的磁感应强度之比$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$为$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程，应用牛顿第二定律即可正确解题，作出粒子运动轨迹、主义数学知识的应用是正确解题的关键．