Question

2．如图所示是某游乐场的一种过山车的简化图，光滑的过山车轨道由倾角为θ的足够长斜面和半径为R的圆形轨道组成．可视为质点的过山车从斜面A处由静止开始下滑，沿着斜面运动到B点（B为斜面与圆形轨道的切点），而后沿圆形轨道内侧运动． 求：
（1）若过山车刚好能通过圆形轨道的最高点C，过山车经过C点时的速度大小
（2）在（1）情况下过山车过最低点D时对轨道的压力为重力的几倍
（3）考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，则允许过山车初始位置与B点的最大距离为多大．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出过山车经过C点的速度大小．
（2）根据动能定理求出过山车到达最低点的速度大小，结合牛顿第二定律求出支持力和重力的关系，从而得出压力与重力的关系．
（3）根据牛顿第二定律求出最低点的速度，结合动能定理求出释放点的高度，根据几何关系求出过山车初始位置与B点的最大距离．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律得，mg=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{C}=\sqrt{gR}$．
（2）根据动能定理得，$mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
根据牛顿第二定律得，N-mg=m$\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
联立解得N=6mg．
根据牛顿第三定律知，过山车过最低点D时对轨道的压力为重力的6倍．
（3）在最低点，根据牛顿第二定律得，$N-mg=m\frac{{v}_{D}{′}^{2}}{R}$，
解得${v}_{D}{′}^{2}=\sqrt{6gR}$，
根据动能定理得，mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}$，
解得h=3R．
允许过山车初始位置与B点的最大距离s=$\frac{h-R（1-cosθ）}{sinθ}=\frac{3R-R（1-cosθ）}{sinθ}$=$\frac{2R+Rcosθ}{sinθ}$．
答：（1）过山车经过C点时的速度大小为$\sqrt{gR}$；
（2）在（1）情况下过山车过最低点D时对轨道的压力为重力的6倍；
（3）允许过山车初始位置与B点的最大距离为$\frac{2R+Rcosθ}{sinθ}$．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律的综合运用，知道最高点和最低点向心力的来源，运用牛顿第二定律和动能定理综合求解，难度中等．