Question

20．我们知道月球的公转周期等于月球的自转周期，这使得我们只能看见月球的同一面，月球背面也因此成了人们假想中金字塔、飞碟、人工几何图的蜗居地．为此，我们可以利用“嫦娥”探月卫星来获取月球表面全貌的信息，再用微波信号发回地球．但是，卫星在月球的背面由于月球遮挡也不能将微波信号发回地球，为此有学者提出就像地球一样发射月球的同步卫星来实现在背面也能传送微波信号的设想，如果已知地球的质量为月球质量的81倍，月球与地球中心相距地球半径的60倍，$\root{3}{3}$=1.44，如果只考虑地球与月球对卫星的影响．则：
（1）月球的同步轨道半径约为地球半径的多少倍？
（2）在月球的同步轨道上，地球对卫星的最大引力约为月球对卫星引力的多少倍？
（3）你认为这样的同步卫星能够实现吗？

Answer 1

分析 （1）地球对月球的吸引力提供月球的向心力，月球对卫星的吸引力提供卫星的向心力，结合牛顿第二定律，联立即可求出；
（2）当地球与卫星之间的距离最小时，地球对卫星的引力最大，结合万有引力定律即可求出；
（3）根据月球的自转的特点，结合卫星的特点分析即可．

解答 解：（1）设月球自转的周期为T，则其公转的周期也是T，月球的同步卫星的周期也是T；月球的公转：
$\frac{G{M}_{地}{M}_{月}}{{r}_{月}^{2}}=\frac{{M}_{月}4{π}^{2}{r}_{月}}{{T}^{2}}$
对月球的同步卫星：$\frac{G{M}_{月}m}{{r}_{卫星}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}{r}_{卫星}}{{T}^{2}}$
又：r_月=60R，M_地=81M_月
联立得：${r}_{卫星}=\root{3}{\frac{{M}_{月}}{{M}_{地}}}•{r}_{月}$=$\root{3}{\frac{1}{81}}•60R=20R$
即为地球的半径的20倍．
（2）当地球与卫星之间的距离最小时，地球对卫星的引力最大，此时卫星到地球的距离为：r′=r_月-r_卫星=60R-20R=40R
地球对卫星的吸引力：${F}_{1}=\frac{G{M}_{地}m}{r{′}^{2}}$
月球对卫星的吸引力：${F}_{2}=\frac{G{M}_{月}m}{{r}_{卫星}^{2}}$
代入数据联立得：${F}_{1}=\sqrt{3}{F}_{2}$
（3）由于月球的公转周期等于月球的自转周期，这使得我们只能看见月球的同一面，而月球的同步卫星相对于月球是静止的，所以这样的同步卫星不能够实现在月球的背面由于月球遮挡也能将微波信号发回地球．
答：（1）月球的同步轨道半径约为地球半径的20倍；
（2）在月球的同步轨道上，地球对卫星的最大引力约为月球对卫星引力的$\sqrt{3}$倍；
（3）这样的同步卫星不能够实现吗．

点评 本题关键要建立卫星的运动模型，分析向心力来源，抓住万有引力提供向心力，列式求解．