Question

如图所示，质量均为m的物体B、C分别与轻质弹簧的两端相栓接，将它们放在倾角为θ = 30^o 的光滑斜面上，静止时弹簧的形变量为x₀。斜面底端有固定挡板D，物体C靠在挡板D上。将质量也为m的物体A从斜面上的某点由静止释放，A与B相碰。已知重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。求：

（1）弹簧的劲度系数k；

（2）若A与B相碰后粘连在一起开始做简谐运动，当A与B第一次运动到最高点时， C对挡板D的压力恰好为零，求C对挡板D压力的最大值；

（3）若将A从另一位置由静止释放，A与B相碰后不粘连，但仍立即一起运动，且当B第一次运动到最高点时，C对挡板D的压力也恰好为零。已知A与B相碰后弹簧第一次恢复原长时B的速度大小为，求相碰后A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离。

Answer 1

（1）物体B静止时，弹簧形变量为x₀，弹簧的弹力F=kx₀

物体B受力如图所示，根据物体平衡条件得

kx₀=mgsinθ         

解得弹簧的劲度系数k=         （6分）

（2）A与B碰后一起做简谐运动到最高点时，物体C对挡板D的压力最小为0

     则对C，弹簧弹力F_弹= mgsinθ，对A、B，回复力最大，F_回= 3mgsinθ   （3分）

由简谐运动的对称性，可知A与B碰后一起做简谐运动到最低点时，回复力也最大，即F_回=3mgsinθ，此时物体C对挡板D的压力最大

对物体A、B有，F_弹¢-2mgsinθ=3mgsinθ

则弹簧弹力F_弹¢ =5mgsinθ

对物体C，设挡板D对物体C的弹力为N，则N=5mgsinθ+mgsinθ=3mg

依据牛顿第三定律，物体C对挡板D的压力N¢= N=3mg

物体C对挡板D压力的最大值为3mg                        （3分）

（3）设物体A释放时A与B之间距离为x，A与B相碰前物体A速度的大小为v₁。

对物体A，从开始下滑到A、B相碰前的过程，根据机械能守恒定律有            

   (解得v₁=)    ①                    （1分）

 设A与B相碰后两物体共同速度的大小为v₂，对A与B发生碰撞的过程，根据动量守恒定律有  mv₁=（m+m）v₂   (解得v₂=)    ②            （1分）

物体B静止时弹簧的形变量为x₀，设弹性势能为E_P，从A、B开始压缩弹簧到弹簧第一次恢复原长的过程，根据机械能守恒定律有

          ③         （2分）

当弹簧第一次恢复原长时A、B恰好分离，设分离后物体A还能沿斜面上升的距离为x₁。对物体A，从与B分离到最高点的过程，机械能守恒，则有

        ，解得x₁=1.5x₀                                            （1分）

对物体B、C和弹簧所组成的系统，物体B运动到最高点时速度为0，物体C恰好离开挡板D，此时弹簧的伸长量也为x₀，弹簧的弹性势能也为E_P。从A、B分离到B运动到最高点的过程，由机械能守恒定律有

   (解得 E_P=)   ④            （1分）

①②③④式解得：x=9x₀                                     （1分）

由几何关系可得，物体A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离d=x-x₁-x₀=6.5x₀。                                                （1分）

说明:以上各题用其他方法解答正确均可得分。