Question

7．火星是太阳系中最类似地球的行星，人类为了探索火星的奥秘已经向这颗红色星球发送了许多探测器，其中有的已经登陆火星表面，有的围绕火星飞行．已知一绕火星做匀速圆周运动的探测器轨道半径为r，周期为T．若将火星视为质量分布均匀、半径为R的球体，且忽略火星的自转影响，求：
（1）火星的第一宇宙速度v；
（2）火星表面的重力加速度g．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出火星的质量，再根据万有引力提供向心力，结合火星的半径求出火星的第一宇宙速度．
（2）根据万有引力等于重力求出火星表面的重力加速度．

解答 解：（1）设火星质量为M、探测器的质量为m，根据探测器绕火星做匀速圆周运动，有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$   　　①
设质量为m₁的卫星以第一宇宙速度绕火星做匀速圆周运动，有：$G\frac{M{m}_{1}}{{R}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{R}$   　　②
由①②式可得：v=$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$．
（2）设在火星表面上有质量为m2的物体，有：$G\frac{M{m}_{2}}{{R}^{2}}={m}_{2}g$　　　③
由①③式可得：g=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．
答：（1）火星的第一宇宙速度为$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$；
（2）火星表面的重力加速度为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．