Question

12．如图甲所示，在光滑的水平面上有一有界匀强磁场区域，质量为m、电阻为R的矩形线圈abcd边长分别为L和2L，线圈一半在磁场内，一半在磁场外，开始时磁感应强度大小为B．t=0时刻，磁感应强度开始均匀减小，线圈中产生感应电流，在安培力作用下运动，其v-t图象如图乙所示，图中斜向虚线为过O点速度图线的切线，数据由图中给出，求：

（1）由开始到t₂时刻安培力所做的功．
（2）磁场的磁感应强度的变化率．
（3）t₂时刻回路的电功率．

Answer 1

分析 （1）运用动能定理，即可求解安培力做功；
（2）由法拉第电磁感应定律和欧姆定律结合求出t=0时刻线圈中感应电流的表达式．由v-t图象上某一点切线斜率等于加速度，可求出t=0时刻线圈加速度．根据牛顿第二定律求得安培力，即可求出磁感应强度的变化率；
（3）线圈t₂时刻开始做匀速直线运动，分析在t₂时刻线圈可能处于位置状态．若磁场没有消失，但线圈完全进入磁场，由于磁感应强度开始均匀减小，会产生感生电动势，由ab和cd两边切割磁感线产生的动生感应电动势抵消．

解答 解：（1）线圈在水平面上仅受安培力的作用，
由开始到t₂时刻的过程中，由动能定理得：
W_安=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-0．　
解得：安培力所做的功W_安=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
（2）从图线可知，t=O时刻线圈速度为零，图中斜向虚线为过0点速度曲线的切线，
所以加速度为：a=$\frac{{v}_{0}}{{t}_{1}}$；
此时刻线框中感应电动势：E=$\frac{△∅}{△t}$=L²$\frac{△B}{△t}$；   
I=$\frac{E}{R}$=$\frac{{L}^{2}}{R}$•$\frac{△B}{△t}$；
由F=B₀IL=$\frac{{B}_{0}{L}^{3}}{R}$•$\frac{△B}{△t}$=ma；
可解得：$\frac{△B}{△t}$=$\frac{m{v}_{0}R}{{B}_{0}{t}_{1}{L}^{3}}$；
（3）线圈在t₂时刻开始做匀速运动，在t₂时刻应有两种可能：
一是，线圈没有完全进入磁场，磁场就消失，线框内没有感应电流，回路电功率P=O；
二是，磁场没有消失，但线圈完全进入磁场，尽管有感应电流，但各边所受磁场力的合力为零，由ab和cd两边切割磁感线产生的感应电动势抵消．
E′=$\frac{△∅}{△t}$=2L²$\frac{△B}{△t}$
回路电功率P=$\frac{E{′}^{2}}{R}$=$\frac{（2{L}^{2}\frac{△B}{△t}）^{2}}{R}$=$\frac{4{m}^{2}{v}_{0}^{2}R}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}{t}_{1}^{2}}$；
答：（1）由开始到t₂时刻安培力所做的功$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$．
（2）磁场的磁感应强度的变化率$\frac{m{v}_{0}R}{{B}_{0}{t}_{1}{L}^{3}}$．
（3）t₂时刻回路的电功率$\frac{4{m}^{2}{v}_{0}^{2}R}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}{t}_{1}^{2}}$．

点评 本题是电磁感应与速度图象的综合．对于图象问题，我们要清楚某一点切线斜率的物理意义．关键要能把电磁感应与动力学和电路知识结合起来解决问题．