Question

2．如图所示，物块C质量m_c=4kg，上表面光滑，左边有一立柱，放在光滑水平地面上．一轻弹簧左端与立柱连接，右端与物块B连接，m_B=2kg．长为L=3.6m的轻绳上端系于O点，下端系一物块A，m_A=3kg．拉紧轻绳使绳与竖直方向成60°角，将物块A从静止开始释放，达到最低点时炸裂成质量m₁=2kg、m₂=1kg的两个物块1和2，物块1水平向左运动与B粘合在一起，物块2仍系在绳上具有水平向右的速度，刚好回到释放的初始点．A、B都可以看成质点．取g=10m/s²．求：
（1）设物块A在最低点时的速度v₀和轻绳中的拉力F大小．
（2）物块A炸裂时增加的机械能△E．
（3）在以后的过程中，弹簧最大的弹性势能E_pm．

Answer 1

分析 （1）由动能定理可求得小球到达底部时的速度，再由向心力公式可求得绳子的拉力；
（2）由动能守恒可求得碰后整体的速度，再由能量守恒可求得增加的机械能；
（3）对于1和B为整体，由动量守恒可求得粘合后的速度，再由能量守恒可求得最大弹性势能．

解答 解：（1）物块A炸裂前的速度为v₀，由动能定理有
m_AgL（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$m_Av₀²           ①
解得　v₀=6m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在最低点，根据牛顿第二定律有
F-m_Ag=m_A$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$　　　　　　　　　　②
由①②式解得　F=m_Ag+2m_Ag （1-cos60°）=60N　　　　　　　　
（2）设物块1的初速度为v₁，物块2的初速度为v₂，则v₂=v₀
由动量守恒定律得m_Av₀=m₁v₁-m₂v₂　　　　　　　　　　　　　　　　　　    　
解得v₁=12m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
△E=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²-$\frac{1}{2}$m_Av₀²　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解得△E=108 J　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）设物块1 与B粘合在一起的共同速度为v_B，由动量守恒
m₁v₁=（m₁+m_B）v_B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  
所以v_B=6 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在以后的过程中，当物块C和1、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大，设共同速度为v_m，由动量守恒
（m₁+m_B）v_B=（m₁+m_B+m_C）v_m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
有v_m=3 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由能量守恒得
E_pm=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_B²-$\frac{1}{2}$（m₁+m_B+m_C） v_m²                        
得E_pm=36 J　　　　　　　
答：（1）设物块A在最低点时的速度为6m/s；轻绳中的拉力F大小为60N；
（2）物块A炸裂时增加的机械能△E是108J；
（3）在以后的过程中，弹簧最大的弹性势能E_pm是36J．

点评 本题考查动量守恒定律及机械能守恒定律的应用，要注意正确选择研究对象，明确各过程所对应的物理规律，则可以正确求解．