Question

5．半径为R的玻璃半圆柱体，横截面如图所示，圆心为O，底边水平．一束单色光竖直向下射向圆柱面，入射点为P，入射角为60?，经折射后射向底边的Q点（图中未画出）．已知玻璃的折射率n=$\sqrt{3}$，求：
①PQ间的距离；
②光线PQ能否在Q点发生全反射？

Answer 1

分析 ①画出光路图，由折射定律求出折射角．由几何关系求解PQ间的距离；
②由几何知识求出光线在OM面上的入射角，与临界角C比较，分析能否在Q点发生全反射．

解答 解：①画出光路图，如图所示．
由折射定律有：n=$\frac{sini}{sinr}$
其中 i=60°，n=$\sqrt{3}$
解得折射角为：r=30°
由几何关系得：cos30°=$\frac{PM}{PQ}$，cos60°=$\frac{PM}{PO}$
得：PQ=$\frac{cos60°}{cos30°}$PO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R
②设临界角为C，则有：sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
在底面上Q点，根据几何知识得入射角为 i′=30°，则有：sini′=sin30°=$\frac{1}{2}$＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$
则得 i′＜C，故不能发生全反射．
答：①PQ间的距离是$\frac{{\sqrt{3}R}}{3}$；
②光线PQ不能在Q点发生全反射．

点评 解决本题的关键是正确作出光路图，灵活运用几何知识，结合折射定律和全反射条件进行研究．