Question

16．质量为0.04千克的质点作简谐振动，其运动方程为x=0.5cos（5t-$\frac{π}{2}$）米，式中t以秒计．求：
（1）初始位移、初始速度；
（2）t=$\frac{4π}{3}$秒时的位移、速度和加速度；
（3）质点的位移大小为振幅的一半处且向x轴正向运动的时刻的速度、加速度和所受的力．

Answer 1

分析 （1）简谐运动的表达式为x=Asin（ωt+φ），A为振幅，ω为圆频率．将时间t=0代入即可求出初位移，求导即可求出初速度；
（2）将时间t=$\frac{4π}{3}$秒代入公式即可求出位移，求导即可求出速度，再次求导求出加速度；
（3）根据位移，求出对应的时间，然后同（2）的方法即可求出．

解答 解：（1）根据简谐振动的运动方程为x=0.5cos（5t-$\frac{π}{2}$）米，可知，t=0时刻：${x}_{0}=0.5•cos\frac{π}{2}=0$；对运动方程求导得：v=x′=-5×0.5sin（5t-$\frac{π}{2}$）；当t=0时，v=2.5m/s．
（2）根据简谐振动的运动方程为x=0.5cos（5t-$\frac{π}{2}$）米，可知，t=$\frac{4π}{3}$时刻：${x}_{1}=0.5•cos（5×\frac{4π}{3}-\frac{π}{2}）=0.5cos\frac{37π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{4}$m；
对运动方程求导得：v=x′=-5×0.5sin（5t-$\frac{π}{2}$）；当t=$\frac{4π}{3}$时，v₁=-5×0.5sin（5×$\frac{4π}{3}$-$\frac{π}{2}$）=-1.25m/s．
对速度方程求导得：a=v′=x″=-12.5cos（5t-$\frac{π}{2}$）；当t=$\frac{4π}{3}$时，a₁=-12.5cos（5×$\frac{4π}{3}$-$\frac{π}{2}$）=$-\frac{25\sqrt{3}}{4}$m/s²
（3）在简谐振动的过程中当质点位移大小为振幅的一半处且向x轴正向运动的时刻，质点的位移可能为正，是0.25m，也可能为负是-0.25m：
①当x=0.25m时，在一个周期内，$（5t-\frac{π}{2}）=\frac{5}{3}π$，质点的速度：v₂=-2.5sin$\frac{5}{3}π$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$m/s，加速度：a₂=-12.5cos$\frac{5}{3}π$=-6.25m/s²
质点所受的力：F₁=ma₂=0.04×（-6.25）=-0.25N
②当x=-0.25m时，在一个周期内，$（5t-\frac{π}{2}）=\frac{4}{3}π$，质点的速度：v₃=-2.5sin$\frac{4}{3}π$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$m/s，加速度：a₃=-12.5cos$\frac{4}{3}π$=6.25m/s²
所受的力：F₂=ma₃=0.04×6.25=0.25N
答：（1）初始位移是0，初始速度是2.5m/s；
（2）t=$\frac{4π}{3}$秒时的位移是$\frac{\sqrt{3}}{4}$m，速度是-1.25m/s，加速度是$-\frac{25\sqrt{3}}{4}$m/s²；
（3）质点的位移大小为振幅的一半处且向x轴正向运动的时刻，①当x=0.25m时，质点的速度是$\frac{5\sqrt{3}}{4}$m/s，加速度是-6.25m/s²质点所受的力是-0.25N；②当x=-0.25m时，质点的速度是$\frac{5\sqrt{3}}{4}$m/s，加速度是6.25m/s² 所受的力 0.25N．

点评 解决本题的关键掌握简谐运动的表达式为x=Asin（ωt+φ），知道A为振幅，ω为圆频率．利用位移与速度、加速度的导数关系即可解决．