Question

5．如图所示，边界PQ以上和MN以下空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度均为4B，PQ、MN间距离为2$\sqrt{3}$d，绝缘板EF、GH厚度不计，间距为d，板长略小于PQ、MN间距离，EF、GH之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．有一个质量为m的带正电的粒子，电量为q，从EF的中点S射出，速度与水平方向成30°角，直接到达PQ边界并垂直于边界射入上部场区，轨迹如图所示，以后的运动过程中与绝缘板相碰时无能量损失且遵循反射定律，经过一段时间后该粒子能再回到S点．（粒子重力不计）
求：①粒子从S点出发的初速度v；
②粒子从S点出发第一次再回到S点的时间；
③若其他条件均不变，EF板不动，将GH板从原位置起向右平移，且保证EFGH区域内始终存在垂直纸面向里的匀强磁场B，若仍需让粒子回到S点（回到S点的运动过程中与板只碰撞一次），则GH到EF的垂直距离x应满足什么关系？（用d来表示x）

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出粒子在EF和GH间做圆周运动的轨道半径，结合半径公式求出粒子从S点出发的初速度．
（2）作出粒子运动的轨迹图，根据粒子在磁场中运动的周期公式，结合圆心角的大小求出粒子从S点出发第一次再回到S点的时间．
（3）作出粒子的轨迹图，结合粒子在磁场中运动的周期性，结合数学知识求出GH到EF的垂直距离x应满足通项表达式．

解答 解：（1）PQ、MN间距离$L=2\sqrt{3}d$，且s为中点，
根据几何关系有：${R}_{1}sin60°=\sqrt{3}d$，R₁=2d．
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，${R}_{1}=\frac{mv}{qB}$，
则粒子从S点出发的初速度$v=\frac{qB{R}_{1}}{m}=\frac{2qBd}{m}$．

（2）如图，粒子应从G点进入PQ的场
在4B场内，$q4Bv=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，${R}_{2}=\frac{mv}{q4B}=\frac{{R}_{1}}{4}=\frac{d}{2}$．
做半圆，并垂直PQ再由E点回到B场区
由对称性，粒子将打到GH中点并反弹，再次回到S点的轨迹如图
粒子在B场中时间${t}_{1}=4×\frac{1}{6}{T}_{1}=\frac{2}{3}{T}_{1}=\frac{2}{3}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4πm}{3qB}$．
粒子在4B场中时间${t}_{2}=2×\frac{1}{2}{T}_{2}={T}_{2}=\frac{2πm}{q4B}=\frac{πm}{2qB}$．
${t}_{总}={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{11πm}{6qB}$．

（3）如图所示，由粒子运行的周期性以及与板碰撞遵循反射定律，有如下结果：

x=（3n+1）d，（n=0，1，2，3…） 或 x=3nd，（n=0，1，2，3…）      
答：（1）粒子从S点出发的初速度为$\frac{2qBd}{m}$；
（2）粒子从S点出发第一次再回到S点的时间为$\frac{11πm}{6qB}$．
（3）GH到EF的垂直距离x应满足x=（3n+1）d，（n=0，1，2，3…） 或 x=3nd，（n=0，1，2，3…）．

点评 本题考查了带电粒子在磁场中的运动，关键作出轨迹图，结合半径公式、周期公式进行求解，在第三问中，要注意粒子运动的周期性．本题难度较大．