Question

11．人造地球卫星A和B，它们的质量之比为m_A：m_B=l：2，它们的轨道半径之比为2：1，则下面的结论中正确的是（　　）

• A． 它们受到地球的引力比为　F_A：F_B=1：1
• B． 它们运行速度大小之比为　v_A：v_B=1：$\sqrt{2}$
• C． 它们运行角速度之比为ω_A：ω_B=3$\sqrt{2}$：1
• D． 它们运行周期之比为　T_A：T_B=2$\sqrt{2}$：1

Answer 1

分析 根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出向心加速度、向心力、线速度和周期的表达式进行讨论即可．

解答 解：A、卫星在运动过程中万有引力提供向心力，故：
$F=G\frac{Mm}{r^2}$∝$\frac{m}{{r}^{2}}$
解得：$\frac{{F}_{A}}{{F}_{B}}=\frac{\frac{{m}_{A}}{{r}_{A}^{2}}}{\frac{{m}_{B}}{{r}_{B}^{2}}}=\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}{（\frac{{r}_{B}}{{r}_{A}}）}^{2}=\frac{1}{2}×{（\frac{1}{2}）}^{2}=\frac{1}{8}$．故A错误；
B、卫星在运动过程中万有引力提供向心力，故：
$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$∝$\frac{1}{\sqrt{r}}$
故$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\sqrt{\frac{{r}_{B}}{{r}_{A}}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$．故B正确；
C、卫星在运动过程中万有引力提供向心力，故：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$
得：$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$∝$\frac{1}{\sqrt{{r}^{3}}}$
故：$\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{B}}=\sqrt{\frac{{r}_{B}^{3}}{{r}_{A}^{3}}}=\sqrt{\frac{1}{8}}$
故C错误；
D、卫星在运动过程中万有引力提供向心力，故：
$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
解得：$T=2π\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$∝$\frac{1}{\sqrt{{r}^{3}}}$
故$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\sqrt{{（\frac{{r}_{A}}{{r}_{B}}）}^{3}}=\sqrt{{（\frac{2}{1}）}^{3}}=2\sqrt{2}$
故D正确；
故选：BD

点评 本题关键抓住万有引力提供向心力，列式求解出各个待求物理量的表达式，再进行讨论，基础题目．