Question

12．如图所示，长L=16m的传送带与水平方向的倾角为37°，在电动机的带动下以v₀=6m/s 的速率顺时针方向运行，在传送带的B端有一离传送带很近的挡板P可将传送带上的物块挡住．在传送带的A端无初速地放一质量m=1kg的物块，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，物块与挡板的碰撞能量损失及碰撞时间不计．（sinθ=0.6，cosθ=0.8，g=10m/s²）求：
（1）物块从A处第一次滑到P处的过程中，物块在传送带上留下的“擦痕”长度？
（2）物块与挡板P第一次碰撞后，上升到最高点时到挡板P的距离？

Answer 1

分析 （1）先根据牛顿第二定律求出物块从A点由静止释放向下运动的加速度，再根据L=$\frac{1}{2}$a₁t²得求出物块到达斜面底端所用的时间，
利用x=v₀t求出皮带运行的距离，进而得出物块相对皮带的位移即为物块在传送带上留下的“擦痕”长度；
（2）先根据由速度位移公式求出与P碰前的速度，进而知道反弹速度大小，再根据牛顿第二定律求出物块向上做减速运动的加速度，
利用t₁=$\frac{{v}_{1}{-v}_{0}}{{a}_{2}}$求出物块速度减小到与传送带速度相等所需时间，从而得出物块向上的位移，再根据牛顿第二定律求出物块向上做减速运动的加速度，
利用位移公式求出位移，二者位移之和即为物块向上滑行到最高点离P点的距离．

解答 解：（1）物块从A点由静止释放，由牛顿第二定律得，向下运动的加速度：
mgsinθ-μmgcosθ=ma₁，
解得：a₁=2m/s²，
由L=$\frac{1}{2}$a₁t²得，物块到达斜面底端所用的时间：
t=$\sqrt{\frac{2L}{{a}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{2×16}{2}}$s=4s，
皮带运行的距离：x=v₀t=6×4m=24m，
x_相=x+L=（24+16）m=40m．
即物块在传送带上留下的“擦痕”长度为40m．
（2）由（1）可知，向下运动的加速度a₁=2m/s²，
由速度位移公式可知，与P碰前的速度v₁=$\sqrt{2{a}_{1}L}$=$\sqrt{2×2×16}$=8m/s，
物块与挡板碰撞后，以v₁的速率反弹，因v₁＞v₀，物块相对传送带向上滑，
由牛顿第二定律可知，物块向上做减速运动的加速度：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₂，
解得：a₂=10m/s²，
物块速度减小到与传送带速度相等所需时间：
t₁=$\frac{{v}_{1}{-v}_{0}}{{a}_{2}}$=$\frac{8-6}{10}$s=0.2s，
物块向上的位移：x₁=$\frac{{v}_{1}+{v}_{0}}{2}$t₁=$\frac{8+6}{2}$×0.2=1.4m，
物块速度与传送带速度相等后，μ＜tanθ，
由牛顿第二定律可知，mgsinθ-μmgcosθ=ma₃，
代入数据解得，物块向上做减速运动的加速度：a₃=2m/s²，
物块向上的位移：x₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{3}}$=$\frac{{6}^{2}}{2×2}$m=9m，
物块向上滑行到最高点离P点的距离：x′=x₁+x₂=（1.4+9）m=10.4m．
答：（1）物块从A处第一次滑到P处的过程中，物块在传送带上留下的“擦痕”长度为40m；
（2）物块与挡板P第一次碰撞后，上升到最高点时到挡板P的距离10.4m．

点评 本题考查了求位移问题，分析清楚物块的运动过程是正确解题的前提与关键，应用牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题，过程较为复杂，有一定的难度．