Question

4．如图所示，质量m=4kg的物体（可视为质点）用细绳拴住，放在水平传送带的右端，物体和传送带之间的动摩擦因数μ=0.4，传送带的长度L=4m，当传送带以v=4m/s的速度做逆时针转动时，绳与水平方向的夹角θ=37^?．已知：g=l0m/s²，sin37^?=0.6，cos37^?=0.8．求：
（1）传送带稳定运动时绳子的拉力T；
（2）某时刻剪断绳子，求物体做匀加速直线运动的时间；
（3）如果提高传送带的运行速率，物体就能被较快地传送到左处，求物体从图示位置处传送到左端处的最短时间和传送带对应的最小运行速率．

Answer 1

分析 （1）物块受重力、支持力、拉力和滑动摩擦力处于平衡，根据共点力平衡，运用正交分解求出绳子拉力的大小．
（2）剪断绳子，物块先做匀加速直线运动，当速度达到传送带速度时，判定物块是否到达传送带的左端，然后结合牛顿第二定律和运动学公式求出物体运动到传送带的左端的时间．
（3）物块一直做加速运动时的时间最短，由此结合运动学的公式与牛顿第二定律即可解答．

解答 解：（1）传送带稳定运动时，物体处于平衡状态：
Tcosθ=μ（mg-Tsinθ）    
代入数据解得：T=15.4N   
（2）剪断绳子后，根据牛顿第二定律有：μmg=ma   
代入数据求得：a=4 m/s²
匀加速的时间为：t₁=$\frac{v}{a}$=1s                              
（3）提高传送带的速度，物块一直做加速运动时，所以到达传送带左端的时间恰好为最短的时间，传送带的速度恰好是物块以最短时间到达左端的最小速度．此时：
$L=\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$
所以：t₂=$\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{2×4}{4}}=\sqrt{2}$s
所以传送带的最小速度为：${v}_{min}=a{t}_{2}=4×\sqrt{2}=4\sqrt{2}$m/s
答：（1）传送带稳定运动时绳子的拉力T为15.4N；
（2）某时刻剪断绳子，物体做匀加速直线运动的时间是1s；
（3）物体从图示位置处传送到左端处的最短时间就是$\sqrt{2}$s，传送带对应的最小运行速率是4$\sqrt{2}$m/s．

点评 解决本题的关键能够根据物体的受力，判断物体的运动，理清整个过程中物块的运动状况，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．