Question

13．如图，xoy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场，一个质量为m、带电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度v₀沿x轴正方向开始运动．当它经过图中虚线上的M（2$\sqrt{3}$a，a）点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域（图中未画出），又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点．已知磁场方向垂直xoy平面（纸面）向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力．试求：
（1）电场强度的大小；
（2）N点的坐标；
（3）矩形磁场的最小面积．

Answer 1

分析 带电粒子在电场中做类平抛运动，射出电场后做匀速直线运动，进入在磁场中做匀速圆周运动，利用类平抛运动的规从电场中射出速度方向的垂线一，垂足为P，则P点为粒子射入磁场的入射点，N为从磁场中射出的初射点．以O′为圆心，ON为半径做圆如下图；该圆即是粒子运动的轨迹；做NP 的平行线与圆相切，再做MO′的两条平行线与圆相切，则这三条切线和MN围成的面积即是最小面积．

解答 解：如图是粒子的运动过程示意图．
（1）粒子从O到M做类平抛运动，设时间为t，则有
$2\sqrt{3}a={v}_{0}t$
$a=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}{t}^{2}$
得$E=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{6qa}$
电场强度大小为：$E=\frac{m{v}^{2}}{6qa}$
（2）设粒子运动到M点时速度为v，与x方向的夹角为α，则：${v}_{y}=\frac{qE}{m}t=\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}}{3}，即α=3{0}^{0}$，
由题意知，粒子从P点进入磁场，从N点离开磁场，粒子在
磁场中以O′点为圆心做匀速圆周运动，设半径为R，
则：$qBv=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入数据得粒子做圆周运动的半径为：
$R=\frac{mv}{qB}=\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qB}$
由几何关系知：$β=\frac{1}{2}∠PMN=3{0}^{0}$
所以N点的纵坐标为${y}_{N}=\frac{R}{tanβ}+a=\frac{2m{v}_{0}}{qB}+a$
横坐标为${x}_{N}=2\sqrt{3}a$
故N点的坐标为（2$\sqrt{3}$a，$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$+a）
（3）当矩形磁场为图示虚线矩形时的面积最小．则矩形的两个边长分别为
L₁=2R=$\frac{4\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qB}$
${L}_{2}=R+Rsinβ=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qB}$
所以矩形磁场的最小面积为：S_min=L₁×L₂=$\frac{4{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$
矩形磁场最小面积为$\frac{4{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$
答：
（1）电场强度的大小$\frac{m{v}^{2}}{6qa}$；
（2）N点的坐标（2$\sqrt{3}$a，$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$+a）
（3）矩形磁场的最小面积$\frac{4{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$．

点评 解答本题应注意分清物理过程，不同物理过程应用相应的物理知识；抓住关键字句，分析出关键条件．如该题中粒子从N点沿MN的方向射出，即可分析出速度方向，再利用相关知识来“定圆心，找半径”；此外良好的作图能力及几何分析能力是解决此类问题的关键