Question

9．电子感应加速器利用变化的磁场来加速电子，电子绕平均半径为R的环形轨道（轨道位于真空管道内）运动，磁感应强度方向与环形轨道平面垂直，电子被感应电场加速，感应电场的方向与环形轨道相切，电子电荷量为e．
（1）设电子做圆周运动的环形轨道上的磁感应强度大小的增加率为$\frac{△B}{△t}$，求在环形轨道切线方向感应电场作用在电子上的力；
（2）设环形轨道平面上的平均磁感应强度大小的增加率为$\frac{△\overline{B}}{△t}$，试导出在环形轨道切线方向感应电场作用在电子上的力与$\frac{△\overline{B}}{△t}$的关系；
（3）为了使电子在不断增强的磁场中沿着半径不变的圆轨道加速运动，求$\frac{△B}{△t}$和$\frac{△\overline{B}}{△t}$之间必须满足的定量关系．

Answer 1

分析 （1）电子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式．设在圆轨道切线方向作用在电子上作用力为F，按照动量定理可得 F△t=△（mv），联立两个方程即可解答．
（2）根据法拉第电磁感应定律得到感应电动势与磁通量变化率的关系?=$\frac{△Φ}{△t}$．圆轨道所张的面上的磁通量为Ф=πR²$\overline{B}$．由电动势的定义得到 ?=2πRE，电子在圆轨道切向所受到的力为F=qE，联立即可求解．
（3）根据以上两式联立即可求得$\frac{△B}{△t}$和$\frac{△\overline{B}}{△t}$之间的关系．

解答 解：（1）设电子做圆周运动的圆轨道上的磁感应强度大小为 B，方向与环面垂直．由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得：
evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…①
设在圆轨道切线方向作用在电子上作用力为F，按照动量定理有：
F△t=△（mv）…②
由①②式得：
F=eR$\frac{△B}{△t}$…③
（2）按照法拉第电磁感应定律，在电子运动的圆轨道上的感应电动势为：
?=$\frac{△Φ}{△t}$…④
式中圆轨道所张的面上的磁通量 Ф为：
Ф=πR²$\overline{B}$…⑤
这里，$\overline{B}$为圆轨道所在面上的平均磁感应强度．由④⑤式得：
?=πR²$\frac{△\overline{B}}{△t}$…⑥
考虑电子运行一圈感应电场所做的功，由电动势的定义可得：
?=2πRE…⑦
电子在圆轨道切向所受到的力为：
F=qE…⑧
由⑥⑦⑧式得：
F=$\frac{1}{2}$eR$\frac{△\overline{B}}{△t}$…⑨
（3）③和⑨式所表示的是同样的力的大小．联立③⑨式得：
  $\frac{△B}{△t}$=$\frac{1}{2}•\frac{△\overline{B}}{△t}$…⑩
这就是为了使电子在不断增强的磁场中沿着半径不变的圆轨道加速运动$\frac{△B}{△t}$和$\frac{△\overline{B}}{△t}$之间必须满足的定量关系．
答：（1）在环形轨道切线方向感应电场作用在电子上的力为eR$\frac{△B}{△t}$．
（2）在环形轨道切线方向感应电场作用在电子上的力与$\frac{△\overline{B}}{△t}$的关系为F=$\frac{1}{2}$eR$\frac{△\overline{B}}{△t}$．
（3）$\frac{△B}{△t}$和$\frac{△\overline{B}}{△t}$之间必须满足的定量关系是$\frac{△B}{△t}$=$\frac{1}{2}•\frac{△\overline{B}}{△t}$．

点评 解决本题的关键要理解电磁感应的实质，掌握电磁感应的基本规律：法拉第电磁感应定律，明确感应电动势与电场强度的关系，要有解答综合题的能力．