Question

4．某仪器在地面上受到的重力为160N，将它置于宇宙飞船中，当宇宙飞船以a=0.5g的加速度竖直上升到某高度时仪器所受的支持力为90N．（取地球表面处重力加速度g=10m∕s²，地球半径R=6400km）求：
（1）此处离地面的高度H；
（2）若卫星在此高度处做匀速圆周运动，求卫星运行的速度v．

Answer 1

分析 根据地表处的重力计算仪器的质量，再根据牛顿第二定律计算此处的重力加速度．根据该高度处重力加速度$g′=\frac{GM}{{{{（R+H）}^2}}}$和地表重力加速度$g=\frac{GM}{R^2}$联立计算此处离地面的高度H．根据万有引力提供向心力$\frac{GmM}{{{{（R+H）}^2}}}=m\frac{v^2}{（R+H）}$，化简可得此处的速度v．

解答 解：（1）由在地表仪器重160N，可知仪器质量为：m=16kg
根据牛顿第二定律，有：F-mg′=ma        
代入数据，得：g′=0.625m/s²              
设此时飞船离地高度为H，地球质量为M，该高度处重力加速度为：
$g′=\frac{GM}{{{{（R+H）}^2}}}$
地表重力加速度为：$g=\frac{GM}{R^2}$
联立各式得：H=3R=1.92×10⁷m          
（2）设该高度有人造卫星速度为v，其向心力由万有引力来提供，有：
$\frac{GmM}{{{{（R+H）}^2}}}=m\frac{v^2}{（R+H）}$
得：$v=\sqrt{\frac{{g{R^2}}}{R+H}}=3.95km/s≈4.0km/s$
答：（1）此处离地面的高度H为1.92×10⁷m；
（2）若卫星在此高度处做匀速圆周运动，求卫星运行的速度v约为4.0km/s．

点评 本题要掌握星球表面处的物体受到的重力等于万有引力，由此可以计算出重力加速度的表达式．还要掌握万有引力提供向心力这个关系，并且要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．