Question

19．一长木板在水平地面上运动，它与地面的动摩擦因数为0.3，在t=0时刻轻轻将一小物块放到木板上，此时木板的对地速度v₁=5m/s，物块与木板之间的动摩擦因数为0.2，经过t₁=0.5时，木板与物块恰好共速．已知物块与木板的质量相等，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上．取重力加速度的大小g=10m/s²，求
（1）物块刚放到木板上时物块加速度a₁与木板加速度a₂分别多大；
（2）从t=0时刻到t₁时，木板相对于木块的路程多大；
（3）从t₁时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律分别求物块与木板的加速度
（2）根据运动学公式分别求出${t}_{1}^{\;}$时间内木板和物块的位移，再求相对位移
（3）根据牛顿第二定律分别求出${t}_{1}^{\;}$时刻后，物块和木板的位移，再求物块相对于木板的位移的大小

解答 解：（1）物块刚放到木板上时，根据牛顿第二定律
对木块：${μ}_{1}^{\;}mg=m{a}_{1}^{\;}$，得${a}_{1}^{\;}={μ}_{1}^{\;}g=0.2×10=2m/{s}_{\;}^{2}$
对木板：${μ}_{1}^{\;}mg+{μ}_{2}^{\;}•2mg=m{a}_{2}^{\;}$，得${a}_{2}^{\;}={μ}_{1}^{\;}g+2{μ}_{2}^{\;}g=8m/{s}_{\;}^{2}$
（2）${t}_{1}^{\;}=0.5s$时，$v={a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}=1m/s$
物块的位移：${x}_{1}^{\;}=\frac{v}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}×0.5=0.25m$
木板的位移：${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}+v}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{5+1}{2}×0.5=1.5m$
木板相对物块的路程$△s={x}_{2}^{\;}-{x}_{1}^{\;}=1.25m$
（3）${t}_{1}^{\;}$时刻后，对物块和木板组成的系统，如果两者相对静止，
由牛顿第二定律得：
${μ}_{2}^{\;}2mg=2ma′$
解得：$a′={μ}_{2}^{\;}g=3m/{s}_{\;}^{2}$
如果两者相对静止，则物块受到的摩擦力：
$f=ma′=m×3＞{μ}_{1}^{\;}mg=2m$
则两者不会相对静止一起做匀减速运动，所以物块和木板不能共速运动，物块受摩擦力方向将发生变化，设物块和木板的加速度大小分别为${a}_{1}^{′}$和${a}_{2}^{′}$
则由牛顿第二定律，对滑块：${μ}_{1}^{\;}mg=m{a}_{1}^{′}$，得${a}_{1}^{′}={μ}_{1}^{\;}g=2m/{s}_{\;}^{2}$
对木板：${μ}_{2}^{\;}2mg-{μ}_{1}^{\;}mg=m{a}_{2}^{′}$，得${a}_{2}^{′}=4m/{s}_{\;}^{2}$
从t₁时刻到物块与木板均停止运动时
物块位移${x}_{1}^{′}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{1}^{′}}=\frac{{1}_{\;}^{2}}{2×2}=0.25m$
木板的位移${x}_{2}^{′}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{2}^{′}}=\frac{{1}_{\;}^{2}}{2×4}=0.125m$
物块相对于木板的位移的大小$△x′={x}_{1}^{′}-{x}_{2}^{′}=0.125m$
答：（1）物块刚放到木板上时物块加速度${a}_{1}^{\;}$为$2m/{s}_{\;}^{2}$与木板加速度${a}_{2}^{\;}$为$8m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）从t=0时刻到t₁时，木板相对于木块的路程1.25m；
（3）从t₁时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小为0.125m

点评 本题考查了两体多过程问题，分析清楚物体的运动过程是正确解题的关键，也是本题的易错点，分析清楚运动过程后，应用加速度公式、牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题．