Question

4．如图所示，一质量为M的半圆形槽内壁光滑，放在光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的木桩以阻止槽水平向左运动，槽的半径为R．今从槽左侧A端的正上方D处自由释放一个质量为m的小球，球恰从A点自然进入槽的内壁轨道．为了使小球和沿槽的内壁恰好运动到槽的右端B点，试求D点至A点的高度．

Answer 1

分析 小球从D点至O′点的过程中，半圆形槽由于木桩的阻止，半圆槽静止不动．对于小球，只有重力做功，小球的机械能守恒，求出小球到达半圆槽的最低点O′的速度．当小球从半圆槽的最低点O′运动到B点的过程中，半圆槽由于小球的压力作用离开木桩，以半圆槽和小球组成的系统为研究对象，水平方向动量守恒和机械能守恒，根据两大守恒列出方程，联立求解D点到A点的高度h．

解答 解：设D点至A点的高度为h．小球从D处开始运动至B端的过程，可分为两个阶段：
第一阶段：小球从D点自由下落经A点至最低点O′，设小球经过O′的速度大小为v₁．由于只有重力做功，小球的机械能守恒，则得：
  mg（h+R）=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$…①
第二阶段：小球从O′点运动到B点，此时小球和槽有共同速度v₂，对槽和小球系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒，可得：
  mgR+$\frac{1}{2}$（m+M）${v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$…②
该阶段，系统在水平方向不受外力，水平方向动量守恒，取水平方向向右为正方向，由动量守恒定律得：
  mv₁=（m+M）v₂ …③
联立以上三式，解得：h=$\frac{M}{m}$R
答：D点到A点的高度为为$\frac{M}{m}$R．

点评 本题关键是分析物理过程，寻找解题规律是关键．要知道小球从最低点O′上升的过程，系统的水平方向动量守恒，但总的动量并不守恒．