Question

16．太阳系中除了有八大行星外，还有许多围绕太阳运行的小行星，其中一颗名叫“谷神”的小行星，“谷神”的质量为m，距离太阳中心的距离为r，若已知太阳的半径为R，太阳表面处的重力加速度为g，“谷神”星围绕太阳公转的角速度为ω．则“谷神”星所受太阳对它的万有引力大小为（　　）

• A． 0
• B． mω²r
• C． $\frac{g{R}^{2}m}{{r}^{2}}$
• D． m$\root{3}{g{R}^{2}{ω}^{4}}$

Answer 1

分析 “谷神”星的轨道半径为r．根据太阳的半径和太阳表面的重力加速度，由重力等于万有引力，可求出太阳的质量．由向心力公式求解向心力．

解答 解：“谷神”星轨道半径为r，则根据向心力公式得：
太阳对行星的引力大小为：$F=m{ω}_{\;}^{2}r$①
该行星所受太阳的万有引力为：F=G$\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$②
在太阳表面，重力等于万有引力$m′g=G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}$，得$GM=g{R}_{\;}^{2}$③
联立②③得$F=\frac{g{R}_{\;}^{2}m}{{r}_{\;}^{2}}$④
根据万有引力提供向心力，得$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$，得$r=\root{3}{\frac{GM}{{ω}_{\;}^{2}}}$⑤
⑤代入①：$F=m{ω}_{\;}^{2}r$=$m{ω}_{\;}^{2}\root{3}{\frac{GM}{{ω}_{\;}^{2}}}$=$m\root{3}{g{R}_{\;}^{2}{ω}_{\;}^{4}}$⑥
故BCD正确，A错误；
故选：BCD

点评 本题为卫星运动的典型题型，抓住万有引力等于向心力、万有引力等于重力，再根据向心力的基本公式求解，解题过程中要注意黄金代换式的应用．