Question

20．如图所示，一个半径为r的半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的，一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有可视为质点的质量为m₁和m₂的小球且m₁=2m₂，让质量为m₁的小球从碗口静止释放，当其沿碗壁到达碗底时速度为v₁，此时质量为 m₂的小球速度为v₂，则在这个过程中（　　）

• A． 小球m₁所受重力的功率一直增大
• B． 小球m₂的重力势能变化量为m₂gr
• C． v₂=v₁sin45°
• D． v₂=$\sqrt{\frac{2gr（2-\sqrt{2}）}{5}}$

Answer 1

分析 分析初末位置的重力瞬时功率，分析重力功率的变化情况．质量为m₁的小球下滑的过程，对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒．m₁球在碗底时，两球的速度大小不等，应将m₁球的速度沿绳和垂直于绳的方向分解，沿绳子方向的分速度即等于m₂球的速度大小．根据机械能守恒定律和速度关系列式求v₂．

解答 解：A、刚开始释放的瞬间，小球m₁的速度为0，重力的功率为0．到达碗底时，重力和速度垂直，重力的功率也为0，小球m₁所受重力的功率先增大后减小，故A错误．
B、小球m₂上升的高度 h=$\sqrt{2}$r，则其重力势能变化量为m₂gh=$\sqrt{2}$m₂gr．故B错误．
C、将m₁球的速度沿绳和垂直于绳的方向分解，沿绳子方向的分速度v₁即等于m₂球的速度v₂大小．即：v₂=v₁sin45°．故C正确．
D、根据两球组成的系统机械能守恒有：m₁gr-$\sqrt{2}$m₂gr=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
又 v₂=v₁sin45°
联立解得，v₂=$\sqrt{\frac{2gr（2-\sqrt{2}）}{5}}$，故D正确．
故选：CD

点评 本题是简单的连接体问题，系统的机械能守恒，单个小球机械能并不守恒．注意连接体中两个物体的速度大小不一定相等．要应用速度的分解求出两个小球的速率关系．