Question

10．如图甲所示，长木板A静止在水平地面上，其右端叠放着物块B，左端恰好在O点，水平面以O点为界，左侧光滑、右侧粗糙．物块C（可以看作质点）和D间夹着一根被压缩的弹簧，并用细线锁住，两者以共同速度v₀=8m/s向右运动，某时刻细线突然断开，C和弹簧分离后，撤去D，C与A碰撞并与A粘连（碰撞时间极短），此后，AC及B的速度一时间图象如图乙所示．已知A、B、C、D的质量均为m=l kg，木板A的长度l=5m，A、C与粗糙面间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s²．求：

（1）长木板A与桌面间的动摩擦因数及B与A间的动摩擦因数．
（2）烧断细线之前弹簧的弹性势能．
（3）最终物块B离长木板A左端的距离．

Answer 1

分析 （1）根据乙图的斜率求出AC及B运动的加速度，结合牛顿第二定律求得摩擦因数；
（2）C与A碰撞，遵守动量守恒，由动量守恒定律求出碰撞前C的速度．弹簧弹开的过程中C、D组成的系统动量守恒，由此列式弹开后D的速度，再由能量守恒定律列式求烧断细线之前弹簧的弹性势能；
（3）根据乙图求得达到共同速度各自前进的位移，达到共同速度后，A、B做减速运动，根据牛顿第二定律求得各自的加速度，利用速度位移公式求得减速到零前进的位移，即可求得最终B离A右端的距离

解答 解：（1）设A与桌面间的动摩擦因数为μ，B与A间的动摩擦因数为μ′．
由乙图知，C与A碰撞后，AC做匀减速运动的加速度大小 a_A1=$\frac{4.5-1}{1}$=3.5m/s²．
B做匀加速运动的加速度 a_B1=$\frac{1}{1}$m/s²=1m/s²．
对B受力分析，根据牛顿第二定律可知 μ′mg=ma_B1，解得 μ′=0.1
对AC组成的整体，根据牛顿第二定律可知 μ′mg+μ•3mg=2ma_A1，解得 μ=0.2
（2）C与A碰撞过程，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得
   mv_C=2mv_A，其中  v_A=4.5m/s
解得 v_C=9m/s
弹簧弹开过程中，C、D组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律得
  2mv₀=mv_C+mv_D，解得 v_D=7m/s
弹簧弹开过程中，C、D及弹簧组成的系统机械能守恒，则有
  $\frac{1}{2}$•2mv₀²+E_P=$\frac{1}{2}$mv_C²+$\frac{1}{2}$mv_D²
解得  E_P=1J
（3）由图乙可知：0-1s内B相对A向左运动的位移为 x₁=$\frac{4.5×1}{2}$=2.25m
A与B达到共相等速度后，B的加速度大小为 a_B2=$\frac{μ′mg}{m}$=μ′g=1m/s²．
AC整体的加速度大小为 a_A2=$\frac{3μmg-μ′mg}{2}$
解得  a_A2=2.5m/s²．
因为 a_A2＞a_B2，所以AC整体先停止运动，AC整体的运动时间为 t=$\frac{v}{{a}_{A2}}$=$\frac{1}{2.5}$=0.4s
在0.4s内B相对A向右运动的位移为 x₂=vt-$\frac{1}{2}{a}_{B2}{t}^{2}$-$\frac{vt}{2}$
解得 x₂=0.12m
A停止时B的速度为 v′=v-a_B2t=1-1×0.4=0.6m
然后B在A上面做匀减速运动直到停止，B的加速度大小为 a_B3=$\frac{μ′mg}{m}$=μ′g=1m/s²．
B相对于A向右运动的位移为 x₃=$\frac{v{′}^{2}}{2{a}_{B3}}$=$\frac{0．{6}^{2}}{2×1}$m=0.18m
故最终B离长木板A右端的距离为 x=l-x₁+x₂+x₃
解得 x=3.05m
答：
（1）长木板A与桌面间的动摩擦因数及B与A间的动摩擦因数分别为0.2和0.1．
（2）烧断细线之前弹簧的弹性势能是1J．
（3）最终物块B离长木板A左端的距离是3.05m．

点评 分析清楚物体的运动过程，准确选择研究对象，然后应用动量守恒定律、牛顿第二定律和运动学公式分段进行研究．