Question

如图甲，水平地面上有一个轻质弹簧自然伸长，左端固定在墙面上，右端位于O点。地面右端M紧靠传送装置，其上表面与地面在同一水平面。传送装置在半径为r、角速度为的轮A带动下沿图示方向传动。

在弹性限度范围内，将小物块P₁往左压缩弹簧到压缩量为x时释放，P₁滑至M点时静止，其速度图像如图乙所示（虚线0q为图线在原点的切线，bc段为直线）。之后，物块P₂在传送装置上与M距离为l的位置静止释放，P₁、P₂碰撞后粘在一起。已知P₁、P₂质量均为m，与传送装置、水平地面的动摩擦因数均为，M、N距离为，重力加速度为g 。

（1）求弹簧的劲度系数k以及O、M的距离s。

（2）要使P₁、P₂碰撞后的结合体P能回到O点，求l的取值范围以及P回到O点时的速度大小v与l的关系表达式。

Answer 1

．解：（1）由图乙知，刚释放弹簧时，P₁具有的加速度为               

由胡克定律得此时弹簧弹力为                              

  由牛顿第二定律得                                 

解得弹簧的劲度系数为                           

由图乙，P₁离开弹簧时的速度为                      

     之后P₁做加速度为的匀减速直线运动到M时速度为零，有

                                     

解得O、M距离为                           

 （2）P₂与P₁碰前瞬间速度为v₂，碰后结合体P的速度为v₃，碰撞前后动量守恒，有

                                                       

碰后P₂、P₁结合体P能在地面上往左匀减速回到O点时速度为v，有

                              

若P₂在传送装置上一直加速到M点，则有                

由解得                      

要使结合体P能回到O点，必须，即                                    

若P₂在传送装置上一直加速到M点时刚好与传送装置达到相同速度，

即有v₂=                                       

代入式    解得                            

i：当时，P₂在传送装置上一直加速，并最终结合体P能回到O点，回到O点时的速度为                                     

ii：当时，P₂在传送装置上先加速后匀速，与P₁碰前瞬间速度始终为v₂=，代入式得