Question

1．如图所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交变电压．B板的电势φ_B=0，A板的电势φ_A随时间的变化规律为：在0～$\frac{T}{2}$时间内φ_A=U（正的常量）；在$\frac{T}{2}$～T时间内φ_A=-U．现有一电荷量为q、质量为m的带负电粒子从B板上的小孔S处进入两板间的电场区内，设粒子的初速度和重力均可忽略．
（1）若粒子是在t=0时刻进入的，且经过2T时间恰好到达A板，则A、B两板间距d₁为多大？
（2）若粒子是在t=$\frac{T}{8}$时刻进入的，且经过$\frac{11T}{8}$时间恰好到达A板，则A、B两板间距d₂为多大？
（3）若粒子是在t=$\frac{3T}{8}$时刻进入的，且A、B两板间距足够大，则粒子经过多长时间离开电场？

Answer 1

分析 （1）电子在t=0时刻进入时，在一个周期内，前半个周期受到的电场力向上，向上做加速运动，后半个周期受到的电场力向下，继续向上做减速运动，T时刻速度为零，接着周而复始，所以电子一直向B板运动，做出v-t图象进行分析，根据牛顿第二定律和运动学公式列式求解；
（2）若粒子是在t=$\frac{T}{8}$时刻进入的，在上一副图上继续做出v-t图象分析，注意v-t图象与时间轴包围的面积表示位移大小；
（3）若粒子是在t=$\frac{3T}{8}$时刻进入的，同样做出v-t图象进行分析即可．

解答 解：（1）0-$\frac{T}{2}$内，向上做匀加速直线运动，加速度为：a=$\frac{qU}{m{d}_{1}}$；
位移为：y₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{qU}{m{d}_{1}}×（\frac{T}{2}）^{2}$；
结合分析中内容“在一个周期内，前半个周期受到的电场力向上，向上做加速运动，后半个周期受到的电场力向下，继续向上做减速运动，T时刻速度为零，接着周而复始“，做出v-t图象，如图所示：

故前2T内的位移：y=4y₁=d₁；
联立解得：d₁=$\sqrt{\frac{qU{T}^{2}}{2m}}$；
（2）若粒子是在t=$\frac{T}{8}$时刻进入的，且经过$\frac{11T}{8}$时间恰好到达A板，画出v-t图象，如上图中红色的坐标轴所示：
v-t图象与时间轴包围的面积表示位移大小，故：
d₂=$\frac{1}{2}a（\frac{3}{8}T）^{2}×2-\frac{1}{2}a（\frac{T}{8}）^{2}×2+\frac{1}{2}a（\frac{2}{8}T）^{2}$=$\frac{21}{128}a{T}^{2}$=$\frac{21}{128}•\frac{qU}{m{d}_{2}}•{T}^{2}$，
解得：d₂=$\sqrt{\frac{21qU{T}^{2}}{128m}}$；
（3）若粒子是在t=$\frac{3T}{8}$时刻进入的，做出v-t图象，如图所示：

显然在$\frac{3}{8}T-\frac{T}{2}$向上匀加速运动，$\frac{T}{2}-\frac{5}{8}T$向上匀减速，$\frac{5}{8}T$开始向下匀加速，直到离开电场，根据位移公式，有：
0=$\frac{1}{2}a（\frac{T}{8}）^{2}$×2-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：t=$\frac{\sqrt{2}}{8}T$；
答：（1）若粒子是在t=0时刻进入的，且经过2T时间恰好到达A板，则A、B两板间距d₁为$\sqrt{\frac{qU{T}^{2}}{2m}}$；
（2）若粒子是在t=$\frac{T}{8}$时刻进入的，且经过$\frac{11T}{8}$时间恰好到达A板，则A、B两板间距d₂为$\sqrt{\frac{21qU{T}^{2}}{128m}}$；
（3）若粒子是在t=$\frac{3T}{8}$时刻进入的，且A、B两板间距足够大，则粒子经过$\frac{\sqrt{2}}{8}T$时间离开电场．

点评 本题粒子的运动具有周期性，关键是画出粒子运动的v-t图象，结合牛顿第二定律和运动学公式列式分析，较难．