Question

5．如图，在竖直平面内由$\frac{1}{4}$圆弧$\widehat{AB}$和$\frac{1}{2}$圆弧$\widehat{BC}$组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为$\frac{R}{2}$．一个质量为m的小球在A点正上方与A相距$\frac{R}{2}$的P点处由静止开始自由下落，经A点进入圆弧轨道运动．（已知重力加速度为g）．求：
（1）小球运动到C点时对轨道的压力大小；
（2）小球经过C点做平抛运动的竖直位移．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求出小球经过C点的速度，在C点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨道对小球的压力，再得到小球对轨道的压力．
（2）小球离开C点后做平抛运动，根据分位移公式和几何关系列式，求出平抛的时间，再求竖直位移．

解答 解：（1）小球从P到C的过程，取C点为参考点，由机械能守恒定律得
  mg$\frac{R}{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
即得小球到达C点的速度 v_C=$\sqrt{gR}$
在C点，对小球，由牛顿第二定律得：
  N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{\frac{1}{2}R}$
解得 N=mg
根据牛顿第三定律可知，小球运动到C点时对轨道的压力大小 N′=N=mg
（2）小球离开C点后做平抛运动，设平抛的时间为t．则：
水平方向有   x=v_Ct
 竖直方向有 y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由几何关系有 x²+y²=R²
联立解得 y=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$R
答：
（1）小球运动到C点时对轨道的压力大小是mg．
（2）小球经过C点做平抛运动的竖直位移是$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$R．

点评 本题要分析清楚小球的运动过程，把握小球向心力的来源，关键要熟练运用平抛运动的规律，并能抓住隐含的几何关系解题．