Question

5．如图，一小物体从A点以某一水平向右的初速度出发，沿水平直轨道运动到B点后，进入光滑竖直圆形轨道，圆形轨道间不相互重叠，即物体离开圆形轨道后可继续向C点运动，C点右侧有一壕沟，C、D两点的竖直高度h=0.8m，水平距离s=1.2m，水平轨道AB长为L₁=1.0m，BC长为L₂=3.0m．物体与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g=10m/s²．

则：（1）当物体在A点的初速度v _A=3.0m/s时，物体恰能通过圆形轨道最高点，求圆形轨道的半径．
（2）若物体既能通过圆形轨道最高点，又不掉进壕沟，求物体在A点的初速度的范围．

Answer 1

分析 （1）物体恰好通过最高点，由重力充当向心力；再对物体由A到最高点的过程，由动能定理列式，可求得圆形轨道的半径．
（2）物体飞出后做平抛运动，由平抛运动的规律和动能定理结合可求得物体在A点的初速度范围．

解答 解：（1）物体恰能通过最高点，有  mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由B到最高点，由机械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$mv²+mg（2R）
由A→B，由动能定理得
-μmgL₁=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv_A²
解得：R=0.1m 
（2）若物体刚好停在C处，则从A到C的过程，由动能定理得
-μmg（L₁+L₂）=0-$\frac{1}{2}$mv′²_A
解得在A点的初速度 v_A′=4m/s
若物体停在BC段，则有 3m/s≤v_A≤4m/s
若物体能通过C点，并越过壕沟，则有
  h=$\frac{1}{2}$gt²
  s=v_ct
又-μmg（L₁+L₂）=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_A²
则有：v_A=5m/s；
解得在A点的初速度范围是：3m/s≤v_A≤4m/s和v_A≥5m/s．
答：
（1）圆形轨道的半径是0.1m．
（2）若物体既能通过圆形轨道最高点，又不掉进壕沟，物体在A点的初速度的范围是：3m/s≤v_A≤4m/s和v_A≥5m/s．

点评 本题的关键要注意正确分析物理过程，把握圆周运动的临界条件，做好受力分析，再选择合适的物理规律求解即可．