Question

14．某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中．为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v₀竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开．忽略空气阻力．已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g．求玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度．

Answer 1

分析 根据能量守恒得出水到达玩具底板时的速度，结合动量定理得出作用力的大小，抓住作用力与玩具的重力相等，联立求出玩具悬停在空中离喷口的高度．

解答 解：设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v．对于△t时间内喷出的水，由能量守恒得：
$\frac{1}{2}（△m）{v^2}+（△m）gh=\frac{1}{2}（△m）v_0^2$…①
在h高度处，△t时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为：△p=（△m）v…②
设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有：F•△t=△p…③
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得：F=Mg…④
联立①②③④式得：$h=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{{{M^2}g}}{{2{ρ^2}v_0^2S_{\;}^2}}$．
答：玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度为$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}-\frac{{M}^{2}g}{2{ρ}^{2}{{v}_{0}}^{2}{S}^{2}}$．

点评 本题主要考查了动量定理与能量守恒的直接应用，知道玩具在空中悬停时，受力平衡，合力为零，两外注意水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，难度适中．