Question

14．如图所示，两根金属导轨平行放置形成倾角为37°的导轨平面，两导轨之间的距离L=0.5m，导轨上端连接一阻值为R=0.2Ω的电阻；质量为m=0.2kg、电阻r=0.2Ω的导体棒MN跨在两倾斜导轨上，与导轨和电阻形成闭合回路，MN与倾斜导轨之间的动摩擦因数为μ=0.5．两倾斜导轨下端通过一小段光滑圆弧与两平行光滑水平导轨相连．倾斜导轨平面内A₁A₂与A₃A₄之间存在匀强磁场Ⅰ，水平导轨平面内A₅A₆右侧存在匀强磁场Ⅱ，两磁场边界与导轨垂直，磁感应强度大小相等，方向均与所在位置的导轨平面垂直．MN初始位置与磁场边界A₁A₂的距离为x₁=lm，将MN由静止释放，为保持导体棒在倾斜导轨上始终做匀加速运动，MN在磁场I运动的过程中需要对其施加一平行导轨平面的变力F．从导体棒进入磁场I开始计时，F随时间t变化的规律为F=0.2t+0.2 （N），若导体棒停止运动时到A₅A₆的距离为X₂=8m．M、N滑动过程中始终与导轨垂直且接触良好，除R和r外其余电阻均不计．取g=l0m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）MN进入磁场I时的速度大小；
（2）磁场的磁感应强度B的大小；
（3）MN的初始位置与水平轨道平面的高度差．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律和运动学公式求MN进入磁场时的速度；
（2）根据题意导体棒在倾斜导轨上始终做匀加速运动，所以导体棒刚进入磁场时受到的安培力和外力F相等；
（3）根据匀加速直线运动的速度位移公式求出导体棒到达斜面底端的速度大小，进入磁场Ⅱ后，根据对极端时间运用牛顿第二定律列式，再利用累积法可求出MN的初始位置与水平轨道平面的高度差；

解答 解：（1）进入磁场之前，对MN：
mgsin37°-μmgcos37°=ma
设进入磁场时的速度为${v}_{0}^{\;}$，则
${v}_{0}^{2}=2a{x}_{1}^{\;}$
解得：${v}_{0}^{\;}=2m/s$
（2）导体棒刚进入磁场Ⅰ时
F=BIL
$I=\frac{E}{R+r}$
$E=BL{v}_{0}^{\;}$
据题意：F=0.2N
解得：B=0.4T
（3）设导体棒沿倾斜导轨下滑的距离为x，到达导轨底端时的速度大小为${v}_{1}^{\;}$，则：
${v}_{1}^{2}=2ax$
h=xsin37°
进入磁场Ⅱ后速度为v时，由牛顿第二定律：
$F=ma=m\frac{△v}{△t}$
$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{R+r}=m\frac{△v}{△t}$
$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R+r}v△t=m△v$
$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R+r}△x=m△v$
由于导体棒进入磁场Ⅱ时的速度为${v}_{1}^{\;}$，末速度为0，在磁场Ⅱ中发生的位移为${x}_{2}^{\;}$，则：
$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R+r}{x}_{2}^{\;}=m{v}_{1}^{\;}$
联立以上几式解得：h=2.4m
答：（1）MN进入磁场I时的速度大小2m/s
（2）磁场的磁感应强度B的大小0.4T；
（3）MN的初始位置与水平轨道平面的高度差2.4m

点评 本题是电磁感应中的力学问题，关键是分析导体棒的受力情况和运动情况，灵活应用法拉第电磁感应定律、牛顿第二定律和运动学公式，第三问运用累积法求解有一定的难度．