Question

13．如图甲所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，场强E=$\frac{π}{10}$×10⁴N/C，现将一重力不计，$\frac{q}{m}$×10⁶C/kg的正电荷从电场中的O点由静止释放，经过t₀=1×10^-5s后，通过MN上的P点进入其上方的匀强磁场．磁场方向垂直于纸面向外，以电荷第一次通过MN时开始计时，磁感应强度按图乙所示规律周期性变化．

（1）求电荷进入磁场时的速度；
（2）求图乙中t=2×10^-5s时刻电荷与P点的距离；
（3）如果在P点右方d=100cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，求电荷从O点出发运动到挡板所需的时间．

Answer 1

分析 （1）电荷在电场中做匀加速直线运动，根据运动学公式和牛顿第二定律结合可求出电荷进入磁场时的速度v₀．
（2）电荷进入磁场后做匀速圆周运动，分别求出电荷在磁场中运动的半径和周期，画出轨迹，由几何关系求出t=2×10^-5s时刻电荷与P点的水平距离．
（3）电荷在周期性变化的磁场中运动，根据周期性分析电荷到达档板前运动的完整周期数，即可求出荷沿MN运动的距离．根据电荷挡板前的运动轨迹，求出其运动时间，即得总时间．

解答 解：（1）电荷在电场中做匀加速直线运动，设其在电场中运动的时间为t₁，有：
v₀=at₀ 
Eq=ma
解得：${v}_{0}=\frac{qE}{m}•{t}_{0}=\frac{q}{m}•E{t}_{0}=1{0}^{6}×\frac{π}{10}×1{0}^{4}×1×1{0}^{-5}m/s$=π×10⁴m/s；          
（2）当磁场垂直纸面向外${B}_{1}=\frac{π}{20}$T时，电荷运动的半径：${r}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$
代入数据得：r₁=0.2m
周期为：${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{1}}$
代入数据得：${T}_{1}=4×1{0}^{-5}$s
当磁场${B}_{2}=\frac{π}{10}$时，电荷运动的半径为：${r}_{2}=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}$
代入数据得：r₂=0.1m
周期为：${T}_{2}=\frac{2πm}{q{B}_{2}}$
代入数据得：${T}_{2}=2×1{0}^{-5}$s  
故电荷从t=0时刻开始做周期性运动，其运动轨迹如图所示．

t=2×10^-5s时刻电荷先沿大圆轨迹运动四分之一周期，然后再沿小圆弧运动半个周期，与P点的水平距离：△d=r₁=0.2m；  
（3）电荷从第一次通过MN开始，其运动的周期为：T=6×10^-5 s，每一个周期内沿PN的方向运动的距离为0.4=40cm，故电荷到达挡板前运动的完整的周期数为2个，沿PN方向运动的距离为80cm，最后20cm的距离如图所示，正电荷垂直撞击到挡板上，有：
 故电荷运动的总时间：${t}_{总}={t}_{0}+2T+\frac{1}{4}{T}_{1}$
代入数据解得：${t}_{总}=1.4×1{0}^{-5}$s
答：（1）电荷进入磁场时的速度为π×10⁴m/s．（2）t=2×10^-5s时刻电荷与P点的水平距离为20cm．（3）电荷从O点出发运动到挡板所需的时间为1.4×10^-4s．

点评 本题是带电粒子在电场和磁场中运动的问题，电荷在电场中运动时，由牛顿第二定律和运动学公式结合研究是最常用的方法，也可以由动量定理处理．电荷在周期性磁场中运动时，要抓住周期性即重复性进行分析，根据轨迹求解时间．