Question

16．长为L的细线一端系一质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，光滑锥顶角为2θ，轴线在竖直方向，如图1所示．使小球在水平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，线的张力为T，经分析可得T-ω²的关系图象如图2所示，已知重力加速度为g．则（　　）

• A． a=mgsin θ
• B． b=$\frac{g}{L}$
• C． 图线1的斜率k₁=mLsin θ
• D． 图线2的斜率k₂=ML

Answer 1

分析 当角速度为零时，根据共点力平衡求出a的大小，当角速度的平方为b时，支持力为零，结合牛顿第二定律求出b的大小．根据牛顿第二定律分别求出小球在圆锥体上和不在圆锥体上时拉力T的表达式，结合表达式得出图线的斜率．

解答 解：A、当角速度为零时，T=mgcosθ=a，故A错误．
B、开始小球贴着光滑圆锥做匀速圆周运动，由图可知，当角速度的平方达到b时，支持力为零，有：mgtanθ=mLsinθω²，解得${ω}^{2}=b=\frac{g}{Lcosθ}$，故B错误．
C、小球未脱离圆锥体时，有：Tsinθ-Ncosθ=mLsinθω²，Tcosθ+Nsinθ=mg，联立两式解得T=mgcosθ+mLsin²θω²，可知图线1的斜率${k}_{1}=mLsi{n}^{2}θ$，故C错误．
D、当小球脱离圆锥体后，有：Tsinα=mLsinαω²，即T=mLω²，即图线2的斜率k₂=mL，故D正确．
故选：D．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，抓住临界状态，即小球支持力为零，求出临界状态下角速度的平方．