Question

7．据报道，美国航空航天局发射了“月球勘测轨道器”（LRO），若以T表示LRO在绕行半径为r的轨道上绕月球做匀速圆周运动的周期，以R表示月球的半径，已知引力常量为G，求：
（1）月球的质量M；
（2）月球表面的重力加速度g．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合卫星的轨道半径和周期求出月球的质量．
（2）根据万有引力等于重力，求出月球表面的重力加速度．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）月球表面上质量为m的物体：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
将月球质量M代入得：$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$
答：（1）月球的质量M为$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）月球表面的重力加速度g为$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．