Question

15．如图所示，固定在竖直平面内的倾角θ=53°的直轨道AB，与一倾角可调的足够长的直轨道BC顺滑相连．现将一质量为m的小物体从AB斜面上高为h=0.8m处静止释放，若将轨道BC调成水平，发现小物体最后静止在水平轨道距上D点．其中BD=1m，假设物体在两轨道上的动摩擦因数相同，不计空气阻力及连接处的能量损失，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）物体与轨道的动摩擦因数；
（2）若将轨道BC调成与水平成37°，物体在BC轨道上能上升的最大高度；
（3）当轨道BC与水平成的角度为多少时，小物体在轨道BC上升到最高时走过的路程最小？

Answer 1

分析 （1）对全过程运用动能定理，抓住动能变化量为零，求出动摩擦因数的大小．
（2）对全过程运用动能定理，求出物体在BC轨道上能上升的最大高度．
（3）对全过程运用动能定理求出在BC轨道上走过路程s的表达式，结合数学三角函数求出路程最小时BC与水平方向的夹角．

解答 解：（1）根据动能定理得，$mgh-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}-μmg•{x}_{BD}=0$，
解得$μ=\frac{h}{{x}_{BD}+hcotθ}=\frac{0.8}{1+0.8×\frac{3}{4}}=0.5$．
（2）若将BC调成与水平成37°，设在BC上上升的最大高度为H，根据动能定理得，
$mgh-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}$-mgH-$μmgcosα•\frac{H}{sinα}=0$，
代入数据解得H=0.3m．
（3）根据动能定理得，$mgh-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}-mgssinα-μmgcosα$•s=0，
解得s=$\frac{1}{2sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{5}sin（α+β）}$，tan$β=\frac{1}{2}$
由数学三角函数关系知，α=$\frac{π}{2}$-arctan$\frac{1}{2}$时，s最小．
答：（1）物体与轨道的动摩擦因数为0.5；
（2）物体在BC轨道上能上升的最大高度为0.3m；
（3）当轨道BC与水平成的角度为$\frac{π}{2}$-arctan$\frac{1}{2}$，小物体在轨道BC上升到最高时走过的路程最小．

点评 本题考查了动能定理的基本运用，运用动能定理解题关键选择好研究的过程，分析过程中有哪些力做功，再结合动能定理列式求解．对于第三问，对数学能力的要求较高，需加强这方面的训练．