Question

7．如图所示，质量为1kg的物块A置于倾角为37°的光滑固定斜面上，质量也为1kg的煤块B位于水平传送带的左端，A，B由跨过定滑轮分别与斜面、传送带平行的轻绳相连，传送带始终以速度v₀=2m/s向右匀速运送；某时刻B从传送带左端以速度v₁=6m/s向右运动，且B与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，假设斜面、轻绳、传送带均足够长，A不会碰到定滑轮，定滑轮的质量与摩擦均不计，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）B向右运动的总时间；
（2）B回到传送带左端时的速度；
（3）上述过程中B与传动带间因摩擦产生的划痕总长度．

Answer 1

分析 （1）B向右运动的过程中分别以A与B为研究的对象，结合牛顿第二定律先求出加速度，然后由运动学的公式求出运动的时间；
（2）B向左运动的过程中B为研究的对象，结合牛顿第二定律先求出加速度，然后由运动学的公式求出B回到传送带左端的速度；
（3）求出B运动的各段的时间，然后求出传送带的位移，然后求出划痕的长度．

解答 解：（1）B向右运动减速运动的过程中，刚开始时，B的速度大于传送带的速度，以B为研究的对象，水平方向B受到向左的摩擦力与A对B的拉力，设AB之间绳子的拉力为T₁，以向左为正方向，得：
T₁+μmg=ma₁  ①
以A为研究的对象，则A的加速度的大小始终与B是相等的，A向上运动的过程中，由牛顿第二定律得：
mgsin37°-T₁=ma₁…②
联立①②可得：a₁=$\frac{gsin37°+μg}{2}$=4m/s²…③
B的速度与传送带的速度相等时所用的时间：t₁=$\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{{a}_{1}}$=1s；
当B的速度与传送带的速度相等之后，B仍然做减速运动，而此时B的速度小于传送带的速度，所以受到的摩擦力变成了向右，所以其加速度也发生了变化，此后B向右运动减速运动的过程中，设AB之间绳子的拉力为T₂，以B为研究的对象，水平方向B受到向右的摩擦力与A对B的拉力，由牛顿第二定律得：
T₂-μmg=ma₂…④
以A为研究的对象，则A的加速度的大小始终与B是相等的，A向上运动的过程中，由牛顿第二定律得：
mgsin37°-T₂=ma₂…⑤
联立④⑤可得：a₂=$\frac{gsin37°-μg}{2}$=2m/s²，
当B向右达到最右端时的速度等于0，再经过时间：t₂=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{2}}$=1s，
B向右运动的总时间：t=t₁+t₂=1s+1s=2s；
（2）B向左运动的过程中，受到的摩擦力的方向仍然向右，仍然受到绳子的拉力，同时，A受到的力也不变，所以它们受到的合力不变，所以B的加速度为：
a₃=a₂=2m/s²，
t₁时间内B的位移：x₁=$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}$t₁=4m，方向：向右，
t₂时间内B的位移：x₂=$\frac{0+{v}_{0}}{2}$t₂=1m，方向：向右，
B的总位移：x=x₁+x₂=4+1=5m
B回到传送带左端的位移：x₃=x=5m，
速度：v=$\sqrt{2{a}_{3}{x}_{3}}$=2$\sqrt{5}$m/s；
（3）t₁时间内传送带的位移：x₁′=v₀t₁=2m，
该时间内传送带相对于B的位移：△x₁=x₁-x₁′=2m，
t₂时间内传送带的位移：x₂′=v₀t₂=2×1m=2m，
该时间内传送带相对于B的位移：△x₂=x₂′-x₂=1m，
B回到传送带左端的时间为t₃：则t₃=$\frac{v}{{a}_{3}}$=$\sqrt{5}$s，
t₃时间内传送带的位移：x₃′=v₀t₃=2$\sqrt{5}$m，
该时间内传送带相对于B的位移：△x₃=x₃′+x₃=（5+2$\sqrt{5}$）m，
划痕的长度：L=△x₁+△x₂+△x₃=（8+2$\sqrt{5}$）m；
答：（1）B向右运动的总时间为2s；
（2）B回到传送带左端时的速度为2$\sqrt{5}$m/s；
（3）上述过程中B与传动带间因摩擦产生的划痕总长度为（8+2$\sqrt{5}$）m．

点评 该题中，开始时物体的速度大于传送带的速度，减速后的速度小于传送带的速度，所以传送带大于物体 摩擦力的方向是不同的，则 物体的加速度会发生变化．这是题目中第一处容易错误的地方．开始时物体的速度大于传送带的速度，减速后的速度小于传送带的速度，所以开始时物体相对于传送带向右运动，之后物体相对于传送带向左运动，在计算产生的内能的过程中，一定要分段计算，若合在一起，则计算的结果就错了．这是第二处容易错误的地方．要细心．