Question

如图所示，电阻忽略不计的、两根平行的光滑金属导轨竖直放置，其上端接一阻值R=3Ω的定值电阻．在水平虚线L₁、L₂间有一与导轨所在平面垂直的匀强磁场B，磁场区域的高度为d=0.5m．导体杆a的质量m_a=0.2kg、电阻R_a=6Ω；导体杆b的质量m_b=0.6kg、电阻R_b=3Ω，它们分别从图中M、N处同时由静止开始在导轨上无摩擦向下滑动，且都能匀速穿过磁场区域，当a杆刚穿出磁场时b杆正好进入磁场．重力加速度为g=10m/s²．（不计a、b之间的作用）求：
（1）在整个过程中，a、b两杆完全穿出磁场区克服安培力分别做的功；
（2）设a、b杆在磁场中的运动速率分别为v_a和v_b，则

va

vb

的值为多少？
（3）M点和N点距水平虚线L₁的高度．

Answer 1

分析：（1）a、b在磁场中匀速运动，其安培力等于各自的重力，根据重力做功情况求出a、b两棒克服安培力分别做的功．
（2）a、b进入磁场都做匀速直线运动，受重力和安培力平衡，根据平衡，结合闭合电路欧姆定律和切割产生感应电动势大小公式，求出a、b做匀速直线运动的速度大小，从而求出两速度之比．
（3）根据a、b棒进入磁场中的速度之比，通过位移公式求出M点和N点距虚线L₁的高度之比，抓住当b刚穿出磁场时a正好进入磁场，有v_a=v_b+gt，d=v_bt结合a、b的速度比，求出M点和N点距虚线L₁的高度．

解答：解：（1）因a、b杆在磁场中做匀速运动，设a杆克服安培力做功W_a，
由动能定理可得：m_agd-W_a=△E_k=0…①
解得：W_a=m_agd=0.2×10×0.5J=1J…②
同理设b杆克服安培力做功W_b，由动能定理得：
   m_bgd-W_b=△E_k=0…③
解得：W_b=m_bgd=0.6×10×0.5J=3J…④
（2）当a杆以速度v_a在磁场中匀速运动时，回路的
总电阻为R1=Ra+

R?Rb

R+Rb

=7.5Ω …⑤
a杆中产生感应电动势为：E_a=BLv_a…⑥
a杆产生感应电流为：Ia=

Ea

R1

…⑦
由a杆做匀速运动有：BI_aL=m_ag…⑧
由⑤⑥⑦⑧可得：

B2L2va

R1

=mag…⑨
同理b杆以速度v_b在磁场中匀速运动时，回路总电阻为R2=Rb+

R?Ra

R+Ra

=5Ω…⑩
b杆中产生感应电动势为：E_b=BLv_b…（11）
b杆产生感应电流为：Ib=

Eb

R2

…（12）
由b杆做匀速运动有：BI_bL=m_bg…（13）
由⑩、（11）、（12）、（13）可得：

B2L2vb

R2

=mbg…（14）
由⑨（14）可得：

va

vb

=

ma

mb

?

R1

R2

=

1

2

…（15）
（3）设a杆在磁场中运动历时为t，由题有：
  d=v_a?t…（16）
  v_b=v_a+gt…（17）
结合（15）式va=

1

2

vb
解得：vb=

20

m/s…（18）
依vb2=2ghb得：hb=

vb2

2g

=1m…（19）
联立（15）（18）式解得：va=

1

2

vb=

5

m/s…（20）
所以：ha=

va2

2g

=

1

4

m…（21）
答：
（1）在整个过程中，a、b两杆完全穿出磁场区克服安培力分别做的功为1J和3J；
（2）设a、b杆在磁场中的运动速率分别为v_a和v_b，则

va

vb

的值为

1

2

．
（3）M点和N点距水平虚线L₁的高度是

1

4

m．

点评：本题电磁感应中的力学问题，电磁与力联系桥梁是安培力，这种类问题往往要分析和计算安培力的大小．本题的关键是寻找两棒之间的关系式υ_a=υ_b+gt．