Question

2．“嫦娥四号”，专家称“四号星”，计划在2017年发射升空，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料．已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，月球的平均密度为ρ，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r，绕月周期为T．根据以上信息下列说法正确的是（　　）

• A． 月球的第一宇宙速度为$\sqrt{gr}$
• B． 万有引力常量可表示为$\frac{3π{r}^{3}}{ρ{T}^{2}{R}^{3}}$
• C． “嫦娥四号”绕月运行的速度为$\sqrt{\frac{g{r}^{2}}{R}}$
• D． “嫦娥四号”必须减速运动才能返回地球

Answer 1

分析 1、根据重力提供向心力mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得月球的第一宇宙速度为v=$\sqrt{gR}$；
2、根据万有引力提供向心力和月球表面的物体受到的重力等于万有引力，二式化简可得嫦娥四号的速度；
3、根据万有引力提供向心力得月球的质量M，解得月球的密度ρ=$\frac{M}{V}$，变形可得万有引力常量．

解答 解：A、月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，所以重力提供向心力mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得月球的第一宇宙速度为v=$\sqrt{gR}$．故A错误．
B、根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，得月球的质量$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，所以月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，所以万有引力常量为$G=\frac{3π{r}^{3}}{ρ{T}^{2}{R}^{3}}$，故B正确．
C、根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，又因为月球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$，得GM=R²g．
所以$v=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$，故C错误．
D、嫦娥四号要脱离月球的束缚才能返回月球，嫦娥四号要脱离月球束缚必须加速做离心运动才行．故D错误．
故选：B

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$和月球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$两个公式的综合应用，注意轨道半径与星体半径的关系．