Question

15．随着现代科学技术的飞速发展，广寒宫中的嫦娥不再寂寞，古老的月球即将留下中华儿女的足迹．航天飞机作为能往返于地球与太空，可以重复使用的太空飞行器，备受人们的喜爱．若你作为一名宇航员现欲乘航天飞机对在距月球表面高h处的圆轨道上运行的月球卫星进行维修，经测量发现卫星绕月飞行的周期为T，已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响．求
（1）维修卫星时航天飞机的速度v应为多大？
（2）月球的质量M．
（3）月球表面的重力加速度g．

Answer 1

分析 （1）已知卫星的轨道半径与周期，应用线速度与周期的关系可以求出线速度．
（2）万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，应用牛顿第二定律可以求出月球质量．
（3）月球表面的物体受到的万有引力等于重力，据此求出月球表面的重力加速度．

解答 解：（1）维修卫星时航天飞机的速度：v=$\frac{2π（R+h）}{T}$；
（2）由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），
解得月球质量：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（3）月球表面的物体所受万有引力等于重力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
解得重力加速度为：g=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$；
答：（1）维修卫星时航天飞机的速度v应为$\frac{2π（R+h）}{T}$；
（2）月球的质量M为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（3）月球表面的重力加速度g为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力、万有引力等于重力是解题的关键，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．