Question

（2006?武汉模拟）在处于水平方向的光滑细管内，一根劲度系数为k的长为L的轻弹簧，一端固定在管的端点O，另一端连接一个质量为m的小球．今将细管以O为轴逆时针缓慢转动，直至转到竖直方向，则在此过程中（不计一切摩擦，弹簧弹力总满足胡克定律）（　　）

A．小球的质量足够大时，总能使小球的重力势能不断增大

B．小球的质量m足够大时，总能使小球的重力势能先增大后减小

C．弹簧的长度足够小时，总能使小球的重力势能不断增大

D．弹簧的长度足够长时，总能使小球的重力势能先增大后减小

Answer 1

分析：以O为转轴在竖直平面内逆时针缓慢转动，直至细管变为竖直状态，小球始终处于平衡状态，抓住小球重力沿斜面方向上的分力与弹簧弹力大小相等，得出形变量的变化，从而得出高度的关系式，通过关系式判断高度的变化．从而得出重力势能的变化．

解答：解：设转过的角度为θ，有mgsinθ=kx，则弹簧的形变量x=

mgsinθ

k

．
球的高度h=（l₀-x）sinθ=(l0-

mgsinθ

k

)sinθ=-

mg

k

(sinθ-

kl0

2mg

)2+

kl02

4mg

因为sinθ＜1．
所以当弹簧的长度l₀一定，则球的质量m足够大时，

kl0

2mg

＜1，则h先增大后减小，重力势能先增大后减小．
当球的质量m一定，则弹簧的长度l₀足够小时，

kl0

2mg

＜1，则h先增大后减小，重力势能先增大后减小．故B正确，A、C、D错误．
故选B．

点评：本题对数学能力的要求较高，通过二次函数的方法并对sinθ的讨论得出高度的变化．从而得出重力势能的变化．