Question

3．在平面直角坐标系xoy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场．一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴y=h的M点以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$h的N点射入磁场，如图所示．（不计粒子重力）
（1）若保持第Ⅳ象限磁感应强度不变，粒子最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，求：
 ①电场强度的大小；
 ②粒子从N点运动到P点的时间；
（2）调节第Ⅳ象限磁感应强度的大小，要使粒子不能从y轴射出磁场，求磁感应强度大小应满足的条件．（不考虑粒子再次进入电场后的运动情况）

Answer 1

分析 （1）①粒子垂直于电场进入第一象限，做类平抛运动，由牛顿第二定律可得到加速度，结合两个方向的分位移，由位移时间公式求解．
②粒子由N到P，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，利用洛伦兹力提供向心力的公式，可由牛顿第二定律求出在磁场中运动的半径．根据几何关系求得粒子转过的圆心角，再由圆周运动的性质求解时间．
（2）调节第Ⅳ象限磁感应强度的大小，要使粒子恰好不能从y轴射出磁场，粒子的运动轨迹与y轴相切，画出轨迹，求出轨迹半径，再由牛顿第二定律求解B，从而得到B应满足的条件．

解答 解：（1）①粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，则由牛顿第二定律得：
   a=$\frac{qE}{m}$
水平方向有：x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$h=v₀t
竖直方向有：h=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由以上三式解得 E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qh}$
②将粒子到达N点的速度 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（at）^{2}}$
可得 v=2v₀．
由v的分解得知：vcosθ=v₀，cosθ=0.5，θ=60°
粒子进入第四象限后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，画出轨迹，由几何关系可知
∠NO′P=120°=$\frac{2}{3}$π，ON=Rsin60°=x，则得粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为：R=$\frac{4}{3}$h；
所以粒子从N点运动到P点的时间 t′=$\frac{\frac{2}{3}πR}{v}$=$\frac{\frac{2}{3}π•\frac{4}{3}h}{2{v}_{0}}$=$\frac{4πh}{9{v}_{0}}$；
（2）调节第Ⅳ象限磁感应强度的大小，要使粒子恰好不能从y轴射出磁场，粒子的运动轨迹与y轴相切，画出轨迹如下图．

设此轨迹半径为r，由几何知识得：
粒子从M点到N点的时间为：t₁=2rsinθ=x，r=$\frac{2}{3}h$
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得 B=$\frac{mv}{qr}$=$\frac{m•2{v}_{0}}{q•\frac{2}{3}h}$=$\frac{3m{v}_{0}}{qh}$
故要使粒子不能从y轴射出磁场，磁感应强度大小应满足的条件是B＞$\frac{3m{v}_{0}}{qh}$．
答：
（1）①电场强度的大小是$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qh}$；
     ②粒子从N点运动到P点的时间是$\frac{4πh}{9{v}_{0}}$；
（2）要使粒子不能从y轴射出磁场，磁感应强度大小应满足的条件是B＞$\frac{3m{v}_{0}}{qh}$．

点评 粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．