Question

10．如图，在竖直平面内固定一半径为R的光滑细圆环，质量为m的小球套在细圆环，劲度系数k=$\frac{mg}{R}$的轻质弹簧一端固定在P点另一端与小球相连，P位于圆心O的正上方且距离d=$\frac{1}{2}$R，B与O在同一水平线上．已知该弹簧原长L₀＜＜R，弹簧的弹性势能可表示为E=$\frac{1}{2}$kx²（x为形变量），重力加速度为g，当小球在圆环顶点A从静止开始经过B下滑到最低点C，求：
（1）小球经过C点时的速度v_c；
（2）小球经过C点对圆环的作用力大小及方向；
（3）为使小球经过C点时对圆环的作用力为零，P、O间的距离d应为何值．

Answer 1

分析 （1）根据小球与弹簧组成的系统机械能守恒，求小球经过C点时的速度v_c．
（2）由牛顿第二定律求小球经过C点时，圆环对小球的作用力大小及方向，再由牛顿第三定律得到小球经过C点对圆环的作用力大小及方向．
（3）结合上题的表达式，分析d的值．

解答 解：（1）在A位置，弹簧的弹性势能为 E_p1=$\frac{1}{2}k（{L}_{0}-\frac{R}{2}）^{2}$
在C位置，弹簧的弹性势能为 E_p2=$\frac{1}{2}k（2R-{L}_{0}）^{2}$
根据小球与弹簧组成的系统机械能守恒得：
2mgR+E_p1=E_p2+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得 v_C=$\sqrt{\frac{gR}{4}+3g{L}_{0}}$
（2）在C点，设圆环对小球的作用力大小为F，方向向下，由牛顿第二定律得：
k（2R-L₀）-mg-F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 F=$\frac{3}{4}$mg-$\frac{7mg{L}_{0}}{4R}$
根据牛顿第三定律得，小球经过C点对圆环的作用力大小为$\frac{3}{4}$mg-$\frac{7mg{L}_{0}}{4R}$，方向向上．
（3）小球经过C点时对圆环的作用力为零时，在C点，由牛顿第二定律有：
k（2R-L₀）-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
根据小球与弹簧组成的系统机械能守恒得：
2mgR+$\frac{1}{2}k（R-d-{L}_{0}）^{2}$=$\frac{1}{2}k（2R-{L}_{0}）^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
联立解得 d=R-L₀-$\sqrt{6{R}^{2}-5R{L}_{0}+{L}_{0}^{2}-\frac{5mgR}{k}}$
答：（1）小球经过C点时的速度v_c是$\sqrt{\frac{gR}{4}+3g{L}_{0}}$．
（2）小球经过C点对圆环的作用力大小$\frac{3}{4}$mg-$\frac{7mg{L}_{0}}{4R}$，方向向上；
（3）为使小球经过C点时对圆环的作用力为零，P、O间的距离d应为R-L₀-$\sqrt{6{R}^{2}-5R{L}_{0}+{L}_{0}^{2}-\frac{5mgR}{k}}$．

点评 此题中要注意小球的机械能不守恒，球和弹簧组成的系统机械能才守恒．要正确分析圆周运动向心力的来源，由牛顿第二定律和机械能守恒定律结合研究．