Question

13．如图，在y轴的左边区域内存在竖直向下的匀强电场，在射线OP的右下方和第四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场．一带电粒子自电场中的M点以初速度v₀沿x轴正方向射出，恰好经过坐标原点O进入匀强磁场，经磁场偏转后垂直于y轴从N点回到电场区域，并恰能返回M点．已知M点坐标为（-L，$\frac{\sqrt{3}}{2}$L），带电粒子质量为m，电荷量为q，不计粒子重力．求：
（1）粒子从电场进入磁场时的速度；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小．
（3）粒子从M点出发经电场和磁场作用后返回到M点所运动的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律求出粒子的速度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，求出粒子的轨道半径，然后由牛顿第二定律求出磁感应强度．
（3）求出粒子在电场与磁场中的运动时间，然后求出粒子从M点出发再回到M点的时间．

解答 解：（1）粒子从M到O点做类平抛运动，
水平方向：L=v₀t  竖直方向：$\frac{\sqrt{3}}{2}$L=$\frac{{v}_{y}}{2}$t，$\frac{\sqrt{3}}{2}$L=$\frac{1}{2}$at²，
解得：v_y=$\sqrt{3}$v₀，a=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{L}$  ①，
粒子进入磁场时的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，解得：v=2v₀，
速度v与水平方向夹角为：θ，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{{v}_{0}}$=$\sqrt{3}$，则θ=60°；
（2）粒子再次进入电场后做类平抛运动，
水平方向：L=vt′，y_NM=$\frac{1}{2}$at′²，解得：y_NM=$\frac{\sqrt{3}}{8}$L，
则：ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$L+$\frac{\sqrt{3}}{8}$L=$\frac{5\sqrt{3}}{8}$L，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，
由几何知识可得：r+rcos60°=ON，解得：r=$\frac{5\sqrt{3}}{12}$L，
洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{8\sqrt{3}m{v}_{0}}{5qL}$；
（3）粒子从M到O的运动时间：t₁=$\frac{L}{{v}_{0}}$，
从N到M的运动时间：t₃=$\frac{L}{v}$=$\frac{L}{2{v}_{0}}$，
粒子在磁场中转过的圆心角α=240°，
粒子在磁场中的运动时间：t₂=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{240°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{5\sqrt{3}πL}{18{v}_{0}}$，
粒子总的运动时间：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（27+5\sqrt{3}π）L}{18{v}_{0}}$；
答：（1）粒子从电场进入磁场时的速度大小为2v₀，方向与x正方向成60°角斜向右下方；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小为$\frac{8\sqrt{3}m{v}_{0}}{5qL}$．
（3）粒子从M点出发经电场和磁场作用后返回到M点所运动的时间为$\frac{（27+5\sqrt{3}π）L}{18{v}_{0}}$．

点评 解决本题的关键理清粒子整个过程中的运动规律，掌握处理类平抛运动和圆周运动的方法，作出运动轨迹，结合牛顿第二定律、运动学公式进行求解．