Question

10．如图，平行长直金属导轨水平放置，导轨间距为L，一端接有阻值为R的电阻，整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B．一根质量为m的金属杆置于导轨上，与导轨垂直并接触良好．己知金属杆在导轨上开始运动的初速度大小为V₀，方向平行于导轨．忽略金属杆与导轨的电阻，不计摩擦．求金属杆运动到总路程的λ（0≤λ≤1）倍时，安培力的瞬时功率．

Answer 1

分析 金属棒运动切割磁感线产生感应电动势，回路中有感应电流，感应电流在磁场中受到安培力的作用，取极短的时间运用动量定理列式，运用微元法即可求得瞬时功率．

解答 解：设运动过程中任意时刻的速度为v，运动的总位移为x，则E=Blv，而i=$\frac{E}{R}$，则金属棒受到的安培力F=Bil=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R}$
在极端的时间△t内，由动量定理得-F•△t=m•△v
即-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v△t}{R}$=m△v，对全过程累加得-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}x}{R}$=mv₀
当x'=λx时，v=v0-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}λx}{mR}$，即v=（1-λ）v₀
此时安培力F′=$\frac{（1-λ）{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R}$，瞬时功率P=F′v=$\frac{（1-λ）^{2}{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}^{2}}{R}$．
答：所以金属杆运动到总路程的λ（0≤λ≤1）倍时，安培力的瞬时功率为$\frac{（1-λ）^{2}{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}^{2}}{R}$．

点评 此题涉及微元法的应用，微元法在自主招生考试中经常出现，值得引起高度重视．同时，应用动量定理解决安培力的相关问题，在华约自主招生中经常出现，最近的是2011年华约自主招生物理试题第7题．