Question

1．如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧一端固定于轴O上，另一端连接质量为m的小物块A．当圆盘静止时，把弹簧拉长后将物块放在圆盘上，使物块能保持静止的弹簧的最大长度为L₀．已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，转动过程中弹簧伸长始终在弹性限度内，则：
（1）若开始时弹簧处于原长，当圆盘的转速为多大时，物块A将开始滑动？
（2）若弹簧的长度为$\frac{3L}{2}$（$\frac{3L}{2}$＜L₀）时，物块与圆盘能一起匀速转动，试求转动角速度的范围．

Answer 1

分析 （1）物体A随圆盘转动的过程中，若圆盘转速较小，由静摩擦力提供向心力；当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．物体A刚开始滑动时，弹簧的弹力为零，静摩擦力达到最大值，由静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律求解角速度ω₀．
（2）若弹簧的长度为$\frac{3L}{2}$时，物块与圆盘能一起匀速转动，当摩擦力达到最大静摩擦力且方向指向圆心时，角速度最大，根据牛顿第二定律列式求解．

解答 解：（1）根据题意可知，物块与转盘的最大静摩擦力f=k（L₀-L）
设盘的角速度为ω₀时，物块A将开始滑动，则
k（L₀-L）=mLω₀²时   
解得：ω₀=$\sqrt{\frac{k（{L}_{0}-L）}{mL}}$
（2）若弹簧的长度为$\frac{3L}{2}$时，物块与圆盘能一起匀速转动，当摩擦力达到最大静摩擦力且方向指向圆心时，角速度最大，则有：
k（$\frac{3L}{2}-L$）+f=m$\frac{3L}{2}$${{ω}_{max}}^{2}$
解得：ω_max=$\sqrt{\frac{2k{L}_{0}-kL}{3mL}}$
则转动角速度的范围为$0≤ω≤\sqrt{\frac{2k{L}_{0}-kL}{3mL}}$
答：（1）若开始时弹簧处于原长，当圆盘的转速为$\sqrt{\frac{k（{L}_{0}-L）}{mL}}$时，物块A将开始滑动；
（2）转动角速度的范围为$0≤ω≤\sqrt{\frac{2k{L}_{0}-kL}{3mL}}$．

点评 当物体相对于接触物体刚要滑动时，静摩擦力达到最大，这是经常用到的临界条件．本题关键是分析物体的受力情况，知道向心力得来源，难度适中．